Intersection d'une cylindre et d'un plan.

[snowleo]

bonjour a tous,

j'ai un petit probleme pour trouver la nature d'une courbe d'intersection d'un cylindre et d'un plan.

on a:x^2 +y^2=1
et x+y+z=1
on sait que x^2 +y^2=1 est un cylindre de rayon 1 et de centre O suivant l'axe Oz.
ensuite x+y+z =1 c'est un plan.

alors comment faire pour montrer que ces 2 surfaces sont secantes et ensuites l'equation de leur intersection.

merci ,

[Ben314]

Salut,
Si tu reste avec des équations cartésiennes, alors tu ne fera pas plus simple que celle que tu as.
En particulier, il faut absolument qu'il soit bien clair dans ta tête que tu ne pourra pas décrire l'intersection des deux à l'aide d'une unique équation "simple" (*) vu qu'une équation à 3 variables x,y,z, ça correspond en général à une surface de R^3 et pas à une courbe donc de demander comme tu le fait LA équation de l'intersection, c'est mal barré. (Et c'est exactement la même chose qu'avec une droite de l'espace R^3 qui ne risque pas d'être décrite par UNE équation linéaire vu que UNE équation linéaire, ça décrit un plan donc il faut absolument DEUX équations pour décrire une droite qui est l'intersection de DEUX plans.)

Sinon, si le but est uniquement de montrer que c'est non vide, ben c'est complètement évident avec les équation que tu as (qui sont parfaitement adaptées à l'étude de la courbe) : on sait bien sûr que l'ensemble des (x,y) de R^2 tels que x²+y²=1 est non vide (c'est le cercle trigo.) et il suffit ensuite de prendre z=1-x-y pour obtenir un point (x,y,z) de R^3 qui est sur ta courbe (et on obtient bien évidement tout les pointsd de la courbe de cette façon là).

A la limite, le truc que tu peut faire (mais tout dépend de ce que tu compté étudier concernant la courbe), c'est de donner des équations paramétrique de cette courbe : Des équation paramétriques "plus que classiques" de x²+y²=1, c'est bien sûr x=cos(t) ; y= sin(t) donc une paramétrisation de ta courbe, c'est x=cos(t) ; y= sin(t) ; z=1-cos(t)-sin(t).

Un autre truc qu'on pourrait éventuellement faire, c'est de prendre un repère (éventuellement orthonormé) du plan, donc avec uniquement deux coordonnées (u,v) et chercher LA équation de la courbe dans ce repère du plan (donc une équation en u,v) qui, bien entendu, dépend du repère du plan choisi.

(*) On peut bien sûr écrire des truc du style [x^2+y^2-1]^2+[x+y+z-1]^2=0 pour "résumer" les deux équations en une seule, mais concernant l'étude de la courbe, ça n'apporte absolument rien, bien au contraire.

[pascal16]

Un autre truc qu'on pourrait éventuellement faire, c'est de prendre un repère (éventuellement orthonormé) du plan, donc avec uniquement deux coordonnées (u,v) et chercher LA équation de la courbe dans ce repère du plan (donc une équation en u,v) qui, bien entendu, dépend du repère du plan choisi.

vu par de la géométrie pour comprendre où vont te mener les calculs.
si tu traces la figure, tu vas trouver une ellipse incluse dans le plan x+y+z=1
le repère qui va bien est alors:
_ un point du plan, au centre de l'ellipse
_ un vecteur normal au plan (pour Z)
_ un vecteur dans le sens de la grande diagonale ( proportionnel à (1,-1,0) si je ne m'abuse)
_ un troisième dans le sens du petit axe (proportionnel à (1,1,-2) si je ne suis pas gourré)
dans ce repère, l'équation devient (X/a)²+(Y/b)²=1
Les changements de variables qui simplifient l'expression pour arriver à la forme ((X-Xo)/a)²+((Y-Yo)/b)²=1 sont d'ailleurs les mêmes que ceux de réduction de formes quadratiques (changement inverse de base) .

[snowleo]

merci de vos aide pascal16 et ben314.

[chan79]

Avec ce repère:
nouvelle origine:



On obtient l'équation suivante de l'ellipse: X²+3Y²=1 avec bien-sûr Z=0
à vérifier éventuellement