salut,
soit E sev engendré par vect ( 1 ,3 ) , ( 2,4 ) et F par ( 0 , 1 ) , ( 4 , 0 ) (c'est un exemple )
comment faire pour trouver une base de E inter F ?
je pose
( x , y ) = combinaison linaire de E = Combinaison lineaire de F ?
soit pour x , y , a , b , c,d app R
x = a + 2b = 4d
y = 3a + 4b = c
a partir de la je sais plus vraiment quoi faire . enfin est ce deja ce que je dois faire pour trouver une base de E inter F
Intersection Sev
15 messages
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par Skullkid » 19 Avr 2012, 18:50
Bonjour, tu peux commencer par déterminer une base B1 d'un des deux espaces. Une base de l'intersection est donnée par les vecteurs de B1 qui appartiennent au deuxième espace.
Avec ton exemple en revanche on peut voir directement que E et F sont égaux à R², la méthode que j'ai décrite sert surtout dans des espaces plus gros.
Avec ton exemple en revanche on peut voir directement que E et F sont égaux à R², la méthode que j'ai décrite sert surtout dans des espaces plus gros.
par naruto-next » 19 Avr 2012, 19:00
salut,
SI x1 x2 les vecteur de E et x3 , x4 vecteur de F , si x1 est combi lin de x3 et x4 mais pas x2 .
la base serait x1 ?
merci
SI x1 x2 les vecteur de E et x3 , x4 vecteur de F , si x1 est combi lin de x3 et x4 mais pas x2 .
la base serait x1 ?
merci
par Skullkid » 19 Avr 2012, 19:18
Désolé, j'ai effacé mon message parce que j'avais dit n'importe quoi...
Je reprends : si tu ne vois pas l'intersection directement, tu peux résoudre ton système d'équations en traitant a et b comme des inconnues, et c et d comme des paramètres. Ensuite tu regardes s'il y a des restrictions sur les paramètres c et d pour que le système ait des solutions.
Je reprends : si tu ne vois pas l'intersection directement, tu peux résoudre ton système d'équations en traitant a et b comme des inconnues, et c et d comme des paramètres. Ensuite tu regardes s'il y a des restrictions sur les paramètres c et d pour que le système ait des solutions.
par naruto-next » 19 Avr 2012, 19:30
ca semble plus compliqué que ce que tu a dit plus haut aussi^^ .
tu peux me donner un exemple et le traité ?
Merci de ton aide , ca fait un moment que je galere sur les intersection de sev .
tu peux me donner un exemple et le traité ?
Merci de ton aide , ca fait un moment que je galere sur les intersection de sev .
par Skullkid » 19 Avr 2012, 19:39
Dans ton cas, le système admet des solutions en a et b quelles que soient les valeurs de c et d, donc ça veut dire que F est inclus dans E, donc que E inter F = F.
Ce que j'ai réécrit en edit est en fait ce que j'avais écrit dans mon premier post, avec la précision très importante qu'il faut que tu prennes une base du sous-espace le plus petit, c'est une méthode plus efficace que celle avec les systèmes.
Par exemple, dans R^4, on veut trouver l'intersection de E dont une base est (1,2,0,0), (2,1,0,0), (1,1,1,0) ; et de F dont une base est (2,2,0,0), (1,0,1,1). L'espace de dimension la plus faible c'est F donc on part de la base de F qu'on a à disposition :
(2,2,0,0) est bien dans E, on le garde.
(1,0,1,1) n'est pas dans E, on le jette.
Au final, l'intersection est engendrée par (2,2,0,0).
Ce que j'ai réécrit en edit est en fait ce que j'avais écrit dans mon premier post, avec la précision très importante qu'il faut que tu prennes une base du sous-espace le plus petit, c'est une méthode plus efficace que celle avec les systèmes.
Par exemple, dans R^4, on veut trouver l'intersection de E dont une base est (1,2,0,0), (2,1,0,0), (1,1,1,0) ; et de F dont une base est (2,2,0,0), (1,0,1,1). L'espace de dimension la plus faible c'est F donc on part de la base de F qu'on a à disposition :
(2,2,0,0) est bien dans E, on le garde.
(1,0,1,1) n'est pas dans E, on le jette.
Au final, l'intersection est engendrée par (2,2,0,0).
par naruto-next » 19 Avr 2012, 19:47
Merci , très bien expliqué .
Maintenant j'aimerais savoir aussi pour E +F .
une base de E + F , c'est simplement une famille libre du regroupement des element de E et F ?
si E : ( 1 , 0) , ( 0 , 1) et F : ( 0 , 2 )
on regroupe E et F ( 1 , 0) , ( 0 , 1) , ( 0 , 2 )
( 0 , 2 ) = 0*( 1 , 0) + 2*( 0 , 1)
donc une base de E + F serait ( 1 , 0) , ( 0 , 1)
bon bien sur c'est un exemple , les matrice sont plus grosse en cours mais est ce correct ?
encore merci
Maintenant j'aimerais savoir aussi pour E +F .
une base de E + F , c'est simplement une famille libre du regroupement des element de E et F ?
si E : ( 1 , 0) , ( 0 , 1) et F : ( 0 , 2 )
on regroupe E et F ( 1 , 0) , ( 0 , 1) , ( 0 , 2 )
( 0 , 2 ) = 0*( 1 , 0) + 2*( 0 , 1)
donc une base de E + F serait ( 1 , 0) , ( 0 , 1)
bon bien sur c'est un exemple , les matrice sont plus grosse en cours mais est ce correct ?
encore merci
par Skullkid » 19 Avr 2012, 19:51
Bon j'ai encore effacé un post de justesse... -_- (désolé de t'embrouiller, je suis crevé ce soir)
Ton système admet des solutions quelles que soient les valeurs de c et d, donc F est inclus dans E, donc E inter F = F. Si tu peux déduire de ton système d'équations des liens entre les paramètres, alors l'intersection est plus petite.
Par exemple, dans R^3, on cherche l'intersection de E dont une base est ((1,0,0),(2,1,0)) et F dont une base est ((1,0,1),(0,0,1)) (je précise bien que ce sont des bases et pas uniquement des familles génératrices).
Le vecteur (a,0,a+b) élément de F est aussi élément de E si et seulement s'il existe deux réels x et y tels que (a,0,a+b) = (x+2y,y,0), c'est-à-dire qu'on doit résoudre le système
x+2y = a
y = 0
a+b = 0
d'inconnues x et y et de paramètres a et b. La troisième équation impose un lien sur les paramètres : il faut que a+b = 0. C'est donc une première condition pour que (a,0,a+b) soit élément de E. En gardant cette condition dans un coin de la tête, on se ramène donc au système
x = a
y = 0
qui n'a plus qu'un seul paramètre : a. Et il a bien des solutions quelles que soient les valeurs de a. Au final, la seule condition pour que (a,0,a+b) soit élément de E, c'est que a+b = 0. Autrement dit, tous les vecteurs (a,0,0) sont éléments de l'intersection, et ce sont les seuls. Donc E inter F est engendré par (1,0,0).
Ton système admet des solutions quelles que soient les valeurs de c et d, donc F est inclus dans E, donc E inter F = F. Si tu peux déduire de ton système d'équations des liens entre les paramètres, alors l'intersection est plus petite.
Par exemple, dans R^3, on cherche l'intersection de E dont une base est ((1,0,0),(2,1,0)) et F dont une base est ((1,0,1),(0,0,1)) (je précise bien que ce sont des bases et pas uniquement des familles génératrices).
Le vecteur (a,0,a+b) élément de F est aussi élément de E si et seulement s'il existe deux réels x et y tels que (a,0,a+b) = (x+2y,y,0), c'est-à-dire qu'on doit résoudre le système
x+2y = a
y = 0
a+b = 0
d'inconnues x et y et de paramètres a et b. La troisième équation impose un lien sur les paramètres : il faut que a+b = 0. C'est donc une première condition pour que (a,0,a+b) soit élément de E. En gardant cette condition dans un coin de la tête, on se ramène donc au système
x = a
y = 0
qui n'a plus qu'un seul paramètre : a. Et il a bien des solutions quelles que soient les valeurs de a. Au final, la seule condition pour que (a,0,a+b) soit élément de E, c'est que a+b = 0. Autrement dit, tous les vecteurs (a,0,0) sont éléments de l'intersection, et ce sont les seuls. Donc E inter F est engendré par (1,0,0).
par naruto-next » 19 Avr 2012, 20:25
Merci pour E INTER F j'ai plus ou moins compris . pour E +F ce que j'ai dit plus haut est correct ?
par Skullkid » 19 Avr 2012, 20:38
Oui, ton exemple est correct.
Plus généralement, tu prends une base B1 de E et B2 de F. Tu prends F la famille union de B1 et B2, et tu enlèves des vecteurs à F jusqu'à ce que tu obtiennes une famille libre, qui sera une base de E+F.
Ou alors, ce qui revient au même mais peut s'avérer plus ou moins efficaces selon les cas : tu prends un vecteur de B2. S'il est dans E, tu le jettes et tu passes au vecteur de B2 suivant. S'il n'est pas dans E, tu le rajoutes à B1 pour former une nouvelle famille libre B1' qui engendre un espace E' et tu passes au vecteur de B2 suivant. Tu prends le deuxième vecteur de B2. S'il est dans B1', tu le jettes et tu passes au suivant. S'il n'est pas dans E', tu le rajoutes à B1' pour former B1'' qui engendre l'espace E'', etc. Une fois que tu as épuisé tous les vecteurs de B2, la famille libre que tu as construite à partir de B1 est une base de E+F.
Plus généralement, tu prends une base B1 de E et B2 de F. Tu prends F la famille union de B1 et B2, et tu enlèves des vecteurs à F jusqu'à ce que tu obtiennes une famille libre, qui sera une base de E+F.
Ou alors, ce qui revient au même mais peut s'avérer plus ou moins efficaces selon les cas : tu prends un vecteur de B2. S'il est dans E, tu le jettes et tu passes au vecteur de B2 suivant. S'il n'est pas dans E, tu le rajoutes à B1 pour former une nouvelle famille libre B1' qui engendre un espace E' et tu passes au vecteur de B2 suivant. Tu prends le deuxième vecteur de B2. S'il est dans B1', tu le jettes et tu passes au suivant. S'il n'est pas dans E', tu le rajoutes à B1' pour former B1'' qui engendre l'espace E'', etc. Une fois que tu as épuisé tous les vecteurs de B2, la famille libre que tu as construite à partir de B1 est une base de E+F.
par naruto-next » 19 Avr 2012, 21:48
j'ai du mal avecc
E : ( 1 , 2 ,1) ,( 0 , 1 , 2)
F: ( 1 , 2 , 2) , ( 0 , -1 , -5 ) , (0 , 0 , -1)
pour intersection
E : ( 1 , 2 ,1) ,( 0 , 1 , 2)
F: ( 1 , 2 , 2) , ( 0 , -1 , -5 ) , (0 , 0 , -1)
pour intersection
par Skullkid » 20 Avr 2012, 18:43
Ici, une nouvelle fois tu peux directement remarquer que F est égal à R^3 tout entier, donc E inter F = E et c'est fini. Sinon, un vecteur de F s'écrit (a,2a-b,2a-5b-c) avec a, b et c trois réels. Ce vecteur est dans E si et seulement s'il existe deux réels x et y tels que
a = x
2a - b = 2x + y
2a - 5b - c = x + 2y
On injecte la première dans les deux autres
a = x
-b = y
a - 3b - c = 0
Continue.
a = x
2a - b = 2x + y
2a - 5b - c = x + 2y
On injecte la première dans les deux autres
a = x
-b = y
a - 3b - c = 0
Continue.
par naruto-next » 20 Avr 2012, 19:35
merci , en faite je bloqué justement à cet endroit .
a = x
b =-y
c = a +3y
(a , b , c) = (a , b ,a+3y) = ( 1 , 0 , 1)a , ( 0 , 1 , 3)b
( 1 , 0 , 1) , ( 0 , 1 , 3) serait une base ?
a = x
b =-y
c = a +3y
(a , b , c) = (a , b ,a+3y) = ( 1 , 0 , 1)a , ( 0 , 1 , 3)b
( 1 , 0 , 1) , ( 0 , 1 , 3) serait une base ?
par Skullkid » 20 Avr 2012, 19:50
Je ne comprends pas ce que tu as écrit. Le but du jeu c'est de trouver les limitations sur a, b et c pour que le système admette des solutions en x et y. Donc tu dois essayer "d'effacer" x et y d'un maximum d'équations. Ici ça donne
a = x
b = -y
c = a - 3b
Ce système admet des solutions en x et y si et seulement si c = a - 3b. Donc le vecteur de F dont on était parti au départ, (a,2a-b,2a-5b-c), appartient à l'intersection de E et de F si et seulement s'il s'écrit (a,2a-b,a-2b), c'est-à-dire a(1,2,1) + b(0,-1,-2). Donc une base de l'intersection est ((1,2,1),(0,-1,-2)).
a = x
b = -y
c = a - 3b
Ce système admet des solutions en x et y si et seulement si c = a - 3b. Donc le vecteur de F dont on était parti au départ, (a,2a-b,2a-5b-c), appartient à l'intersection de E et de F si et seulement s'il s'écrit (a,2a-b,a-2b), c'est-à-dire a(1,2,1) + b(0,-1,-2). Donc une base de l'intersection est ((1,2,1),(0,-1,-2)).
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