Interpolation

[romain24]

bonjour à tous, j'ai un pti probleme d'interpolation et je ne vois pas comment faire pour le résoudre
en fait, j'ai A(u1,...,u(n)) une matrice de la forme

pour la premiere ligne, A=(u1,u1^2,....,u1^n) ...
à la n-ième ligne on a, A=(u(n),u(n)^2,...u(n)^n)

et on a également D(u1,...u(n))=det(A(u1,...u(n)))

on me demande d'utiliser une variable réelle u et en considérant le determinant D(u1,...u(n)) comme un polynome en u de montrer la relation suivante :

D(u1,...,u(n-1),u)=D(u1,...,u(n-1))*u*[Pi(u-u(k))] (k allant de 1 à n-1)

j'espere que mon énoncé est lisible, en tout cas je suis preneur de otute indication
cordialement,

[Ben314]

Salut,
Oh, en tout cas, il est suffisement lisible pour que le terme "Matrice de Vandermonde" vienne à l'esprit...

Effectivement, le plus joli pour calculer ce déterminant et de le voir comme un polynôme en n variables, c'est à dire en u1,u2,...,un.
Regarde ce qu'il se passe si ui=uj (i différent de j).
Qu'en déduit tu ? (factorisation...)
Quel est le degrés en ui du polynôme ?
Conclusion.

Edit : j'avais (encore) pas trop bien lu ton post...
On te suggère plutôt de voir ton determinant comme un polynôme en UNE variable (la dernière u=un) et de voir les autres coeffs comme des constantes.
Ca ne change pas grand chose aux indics que j'ai mis...

[romain24]

merci, ca m'a bien aidé
Par contre,d'apres l'énonce je devais trouver ce resultat là :
D(u1,...,u(n-1),u)=D(u1,...,u(n-1))*u*[Pi(u-u(k))] (k allant de 1 à n-1)
or je trouve le meme mais sans le "u" en produit
Est-ce normal
cordialement,

[Ben314]

Effectivement, il te manque un 'u' (et l'énoncé est parfaitement juste)
J'ai pas fait gaffe que ta matrice n'est pas exactement une "vandermonde".

Il est clair que le polynôme s'annule si u est égal à l'un des ui (car deux lignes du déterminant sont égales) cela signifie que l'on peut mettre (u-ui) en facteur.
Mais il est aussi clair que le le polynôme s'annule si u est égal à 0 (car la première ligne est alors entièrement nulle) cela signifie que l'on peut mettre u en facteur.
Tout cela tombe ma fois trés bien vu que, si on imagine que l'on développe le déterminant par rapport à la première ligne on voit que le polynôme est de degré n et que justement avec u et les (u-ui) ça fait exactement n facteurs (c'est pas du bol ça ?)

[romain24]

c'est bon j'ai trouvé la formule demandé
par contre pour terminer l'exo on me demande d'en déduire D(u1,...u(n))
j'ai regardé des exos corriges sur les matrices de vandermonde mais pour cet exo meme en faisant un peu comme pour les matrice de Vandermonde je ne vois pas comment faire pour trovuer ce resultat
il faut remplacer u par u(n) mais comment calcule t-on le D(u1...,u(n-1))?

[Ben314]

Ben... par récurrence...