Polynome d'interpolation de Hermite

[sarah79]

Bonjour,
je revise pour mes partiels et je suis tombée sur un exercice qui me bloque.
Soit f appartenant à C([0,1]). Construire le polynome d'interpolation de Hermite vérifiant P(0)=f(0) , P(1)=f(1), P'(1)=f'(1).

Je me doute que Q(x)=f(0)H(x)+f(1)I(x)+f'(1)J(x) mais je ne sais pas comment faire pour trouver H,I,J.
Quelle est la méthode s'il vous plait?

[arnaud32]

quelle est le degre de ton polynome?

[sarah79]

de degré 2

[sarah79]

donc I,J,K appartiennent à R2[x] et?

[arnaud32]

p(x)=ax^2+b +c
p'(x)=2ax+b

p(0)=f(0) = c
p(1)=a+b+c =f(1)
p'(1)=2a+b=f'(1)

...

[sarah79]

DONc c=f(0)
a=f'(1)-f(1)+f(0)
b=-f'(1)+2f(1)-2f(0)

et donc P(x)=[f'(1)-f(1)+f(0)]x²+[-f'(1)+2f(1)-2f(0)]x+f(0) ?

[sarah79]

C'est juste?

[arnaud32]

ca m'en a tt l'air

[sarah79]

OKI merci c'était tout bête en faite.

[sarah79]

Dans une autre question on me demande de calculer l'intégrale de 0 à 1 (je l'appelle I) de P(x)dx et de donner l'ordre de la formule de quadrature obtenue.
je trouve I= 1/3[f'(1)-f(1)+f(0)] + 1/2[-f'(1)+2f(1)-2f(0)] + f(0)=-1/6f'(1)+2/3f(1)+1/3f(0)
je procède comment pour trouver l'ordre après?

[sarah79]

J'ai posé P0(x)=1 j'ai regardé l'intégrale de P0(x) sur [0;1] et j'ai regardé si c'était égale à -1/6P0'(1)+2/3P0(1)+1/3P0(0) et ainsi de suite P1(x)=x...
j'ai trouvé que la formule est d'ordre 2 , correct?

[Maxmau]

Bonjour,
je revise pour mes partiels et je suis tombée sur un exercice qui me bloque.
Soit f appartenant à C([0,1]). Construire le polynome d'interpolation de Hermite vérifiant P(0)=f(0) , P(1)=f(1), P'(1)=f'(1).

Je me doute que Q(x)=f(0)H(x)+f(1)I(x)+f'(1)J(x) mais je ne sais pas comment faire pour trouver H,I,J.
Quelle est la méthode s'il vous plait?

Ton idée est bonne
Il suffit de déterminer H,I,J de degré 2 tq:
H(o) = 1 H(1) =0 H'(1) =0
I(0) = 0 I(1) =1 I'(1) =0
J(0) = 0 J(1) = 0 J'(1)=1
ce qui est facile
Comme H,I,J est une base des polynômes de degré <= 2
Q est combinaison linéaire de H,I,J dont les coeff sont évidents