Intérieur et adhérence

[Joker62]

Hello tout le monde !

Mon prof de topo, en fin de séance nous a donné un petit "jeu" que je vous énonce

Soit et

On va créer un ensemble de partie de A grâce à 3 opérateurs qui sont :

- l'intérieur
- l'adhérence
- le complémentaire

de la sorte

Et on continue de façon aléatoire à appliquer les opérateurs sur les nouveaux éléments ainsi créer en évitant d'utiliser 2 fois de suites le même opérateur ( ça sert à rien sinon )

Donc voilà, le prof nous a simplement dit de trouver un exemple dans lequel cet ensemble est le plus grand possible !

Mais bon, ça m'intéressais pas tant que ça de trouver un exemple, donc j'me suis lancé dans un truc bourrin

Je vous explique :

Soit

J'ai remarqué déjà que et

Donc j'ai pour l'instant dans ma suite
en étant absolument pas sûr de l'unicité de chacun évidemment, donc ça peut se réduire on va dire

J'ai donc ensuite remarqué qur si à partir d'un moment dans la suite, on tombe sur l'ensemble vide, ou sur E tout entier, alors on ne pourra pas construire d'autre ensemble différent en effet



Pour finir tout se blablatage, j'ai remarqué et démontrer que pour chaque nouvelle partie intégrée à l'ensemble, la seule opération qui pouvait ajouter une nouvelle partie était si la partie était fermée et si elle était ouverte.

Donc pour finir ma question

Comme chaque nouvel élément de ma suite sera de la forme ou

est-ce-qu'à partir d'un moment, je vais forcément tomber sur le vide ou sur l'ensemble E tout entier ???

Si c'était possible, forcément l'ensemble vide serai donner par f_1 et l'ensemble E par f_2

ENfin bref, j'sais pas trop si j'ai sû m'exprimer correctement
Merci d'avoir lu ce foutoir

[emdro]

Cette usine à gaz Joker, j'adore!! :we:

Je n'ai aucune idée sur la question, mais j'adore!

[alben]

Bonsoir,
Sauf erreur, tes manips conduisent à 14 ensembles au maxi
A;adh(A);int(A);Adh(int(A));Int(adh(A));Adh(int(adh(A)));Int(adh(int(A)))
et leurs complémentaires respectifs.
Toute autre opération nous fait retomber sur l'un de ceux là.
Il n'y a aucune garantie que le plus petit int(adh(int(A))) soit l'ensemble vide ni que le plus grand adh(int(adh(A)) soit E. Et réciproquement pour les complémentaires.

[emdro]

Je sens que je vais dire une énormité, mais le complémentaire de l'intérieur, ce n'est pas l'adhérence?

Vas-y, tape! :marteau:

Ca y est, j'ai trouvé moi-même, c'est stupide!!!

[emdro]

Pendant que je suis parti à dire des bêtises, int(A) et Int(adh(A)), ce n'est pas pareil? :triste:

[Joker62]

C'est vrai que j'ai tendance à partir en live desfois lol mais bon :D

En fait, je voulais tomber sur l'ensemble vide et ou E pour pouvoir dire que l'ensemble est forcément fini ( c'est que le prof nous a laissé croire en tout cas )

Mais donc apparemment c'est pas ça.

Par contre alben, je ne vois pas pourquoi on à forcément ces 14 éléments au maximum.

Pourquoi Adh(Int(Adh(Int(A)))) est-il déjà inclu dans l'ensemble ??? :^)

[Joker62]

Pour emdro, na c'est pas pareil suffit de prendre l'ensemble des Rationnels pour contre-exemple

[emdro]

D'accord, il est temps que j'aille me coucher.
Oh, bah oui, 21h13, c'est sûr!

[alben]

Oui Joker mais int(adh(int(adh(A)))=int(adh(A)) etc...
On peut aller jusqu'à 3 opérateurs, à partir de 4 ça coïncide
PS : j'ai écrit une bétise plus haut : le plus petit c'est int(A) et le plus grand, c'est adh(A).
Comme contre exemple, on peut prendre A=]0,1]U{2}U[3,4[U]4,5]

[Joker62]

Hum Hum alors déjà merciiiii, c'est super sympa ! :)
J'ai donc continuer mes ptites recherches pour démontrer que adh(int(adh(int(A)))) = adh(int(A))

Et donc j'en suis là :

Soit alpha(A) = adh(int(A))

On doit montrer que alpha(alpha(A)) = alpha(A)

On procède par double inclusion :

On a alpha(alpha(A)) C Adh(alpha(A)) ( par définition de l'intérieur )

Or alpha(A) C Adh(alpha(A)) et alpha(A) est un ouvert

Donc est contenu a foritiori dans le plus grand ouvert alpha(alpha(A))

Par contre, j'vois pas pour l'inclusion réciproque... ça me laisse perpexle :s

Merci encore une fois

[alben]

Il est plus simple de montrer les inclusions à l'ordre 3
Adh(int(adh(A))) C Adh(A) et int(A) C int(adh(int(A))
en remplacant A par Int(A) dans la première et en prenant l'adhérence de chaque membre de la seconde, tu auras ta double inclusion.
La première relation résulte que Adh(A) est fermé qui contient son intérieur...

[Joker62]

Et bien tout simplement merci beaucoup :)
J'vais aller rédiger tout ça au propre :)

@demain tous ;)