n'est ce pas ?
Sinon pour ce qui est de l'intégrale de Gauss, j'ai beau creusé et re creusé je ne trouve pas comment faire
Intégrales
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par ArtyB » 24 Nov 2015, 02:59
On a bien le "n" avant le "du" dans l'expression suivante:
^{n}e^{-nu}ndu)
n'est ce pas ?
Sinon pour ce qui est de l'intégrale de Gauss, j'ai beau creusé et re creusé je ne trouve pas comment faire
n'est ce pas ?
Sinon pour ce qui est de l'intégrale de Gauss, j'ai beau creusé et re creusé je ne trouve pas comment faire
par MouLou » 24 Nov 2015, 13:38
u=x/sqrt(n). Comprends pas ta question. Dans tous les cas le n tu peux le mettre dedans ou hors de l intégrale, il est constant en fonction de u.
par ArtyB » 24 Nov 2015, 14:03
Je me demandais juste si c'était normal qu'il y en ait un ou pas
le dt se transforme en d(un)=n*du mais je n'étais pas sûr que ce soit bon.
c'est le changement de variable pour trouver l'intégrale de gauss etc ?
le dt se transforme en d(un)=n*du mais je n'étais pas sûr que ce soit bon.
par ArtyB » 24 Nov 2015, 15:34
Merci MouLou !
Du coup j'ai:
^{n}e^{-t}dt)
J'effectue le changement de variable
et j'obtiens, sauf erreur de ma part:
^{n}e^{-u\sqrt{u}}ndu=\sqrt{n} \int_{\frac{-t^2}{u^2}}^{\frac{t^2}{u^2}}e^{n*ln{(1+\frac{u}{ \sqrt{n})}-u\sqrt{u}}}du)
Du coup j'ai:
J'effectue le changement de variable
et j'obtiens, sauf erreur de ma part:
par ArtyB » 24 Nov 2015, 15:56
Oui, merci j'étais en train d'éditer en pensant à ça justement
So, j'obtiens:
}-u\sqrt{u}}du<br />=\sqrt{n} \int_{\frac{-t^2}{u^2}}^{\frac{t^2}{u^2}}e^{n*(\frac{u}{\sqrt{n}}-\frac{u^2}{n}+o(\frac{u}{\sqrt{n}}))-u\sqrt{u}}du)
que l'on peut simplifier mais on a toujours un gros truc dans l'exponentielle
So, j'obtiens:
par Kolis » 24 Nov 2015, 16:31
Je m'en sors en montrant directement que ^ne^{-t}\mathrm{d}t=\sqrt{2\pi})
.
Comme on a montré auparavant une limite nulle pour l'intégrale entre
et 
cela revient au même.
Par changement de variables
on a ^ne^{-t}\mathrm{d}t=\int_{-\sqrt n}^{+\infty}g_n)
où =e^{-x\sqrt n+n\ln(1+\dfrac x{\sqrt n})})
.
Puis la limite simple
de _{n\in\mathbb{N}})
par développement limité : =e^{-\frac{x^2}2})
Pour justifier le passage à la limite par domination :
-g(x)=e^{-x^2/2}\Bigl(e^{-x\sqrt n+n\ln(1+\frac x{\sqrt n})+\frac{x^2}2}-1\Bigr))
qui est du signe de =-x\sqrt n+n\ln(1+\frac x{\sqrt n})+\frac{x^2}2)
.
L'étude des variations de
sur 
montre que 
si 
et 
si 
.
Pour
on a aussi 
(même méthode pour comparer les exponentielles) .
La fonction est intégrable sur 
et la fonction 
est intégrable sur 
d'où, par passage à la limite (convergence dominée sur chaque intervalle) :
.
Comme on a montré auparavant une limite nulle pour l'intégrale entre
Par changement de variables
Puis la limite simple
Pour justifier le passage à la limite par domination :
L'étude des variations de
Pour
La fonction
par ArtyB » 24 Nov 2015, 17:00
EDIT:@Kollis, je n'avais pas vu la modification de ton message, au temps pour moi. Ca m'a l'air un peu compliqué le coup des fonctions  et g_n(x))
Sinon voilà l'idée qui m'est venue:
^{n}e^{-t}dt=<br />\frac{1}{\sqrt{n}} \int_{-n}^{n}e^{ln{(1+\frac{t}{\sqrt{n}})}^{n}-t}dt)
Par développement limité on a:
Puis changement de variable
Qui donne:
Et avec l'intégrale de Gauss donnée, cela donne
CQFD
Ai-je fait une erreur dans mon raisonnement ?
Sinon voilà l'idée qui m'est venue:
Par développement limité on a:
Puis changement de variable
Qui donne:
Et avec l'intégrale de Gauss donnée, cela donne
Ai-je fait une erreur dans mon raisonnement ?
par Kolis » 24 Nov 2015, 17:26
ArtyB a écrit:EDIT:@Kollis, je n'avais pas vu la modification de ton message, au temps pour moi. Ca m'a l'air un peu compliqué le coup des fonctions
Sinon voilà l'idée qui m'est venue:
Par développement limité on a:
Puis changement de variable
Qui donne:
Et avec l'intégrale de Gauss donnée, cela donne
Ai-je fait une erreur dans mon raisonnement ?
tu ne peux pas faire un développement limité sans écrire le reste et, pour justifier ensuite l'intégration du dit reste (qui soit dit en passant dépend aussi de t) ce ne sera pas simple...
par ArtyB » 24 Nov 2015, 17:31
@Kollis je ne comprends pas ta dernière phrase, comment est ce que le fait que et 
soit intégrables sur et
respectivement et le passage à la limite par convergence dominée nous donne le résultat.
Ah oui en effet, au temps pour moi pour mon développement limité, je pensais que l'on pouvait enlever les autres membres après.
Ah oui en effet, au temps pour moi pour mon développement limité, je pensais que l'on pouvait enlever les autres membres après.
par ArtyB » 24 Nov 2015, 17:54
Je reprends, je pense que mon développement limité marche en fait:
Par développement limité à l'ordre 3 on a:
)-t}dt)
On simplifie et on obtient
}dt)
Et par convergence simple
Par développement limité à l'ordre 3 on a:
On simplifie et on obtient
Et par convergence simple
par Kolis » 24 Nov 2015, 23:02
Non !
Ton=o(n^{-3}))
dépend de 
et tu n'as pas démontré que )
est intégrable. Quant à passer à la limite c'est encore plus difficile !
Et ton développement limité est bien curieux : confusion entre
et 
, ordre non justifié !
De plus tu as encore des après avoir prétendu passer à la limite, sans rien justifier d'ailleurs !
Ton
Et ton développement limité est bien curieux : confusion entre
De plus tu as encore des
par ArtyB » 25 Nov 2015, 07:18
EN le refaisant pour ne pas laisser traîner les n:
^n e^{-t} dt=\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{-n}^{n}e^{n*ln(\frac{t}{n})-t} dt)
On fait le changement de variable suivant :
Et on obtient :
-t}dt=\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{-n}^{n}e^{n*ln(1+\frac{x}{\sqrt{n}})-\frac{x}{\sqrt{n}})} \sqrt{n} dx<br />=\lim\limits_{n \to +\infty}\int_{-n}^{n}e^{n*ln(1+\frac{x}{\sqrt{n}})-x\sqrt{n}} dx)
En faisant un développement limité à lordre 3, on obtient :
^3 ))-x\sqrt{n})} dx=\lim\limits_{n \to +\infty}\int_{-n}^{n}e^{(-\frac{x^2}{2n}+o((\frac{x}{\sqrt{n}})^3 ) )} dx)
En utilisant lintégrale de Gauss et le théorème de convergence dominée, on a donc :
^3 ) ) }dx= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac{-x^2}{2n}}dx)
En effectuant un second changement de variable :
)
on obtient :
}^{+\infty}e^{-u^2 }du=\sqrt{2n})
Verdict ?
On fait le changement de variable suivant :
Et on obtient :
En faisant un développement limité à lordre 3, on obtient :
En utilisant lintégrale de Gauss et le théorème de convergence dominée, on a donc :
En effectuant un second changement de variable :
on obtient :
Verdict ?
par Kolis » 25 Nov 2015, 08:27
ArtyB a écrit:...
En faisant un développement limité à lordre 3, on obtient :
En utilisant lintégrale de Gauss et le théorème de convergence dominée, on a donc :
...
Verdict ?
1. Si tu fais un développement à l'ordre 3 il y a un terme en
2. Tu passes à la limite comme si tu buvais un verre d'eau. Il n'y a aucune justification : le théorème de convergence dominée comporte quelques hypothèses, où sont-elles vérifiées ?
3. Je te répète que la présence d'un
4. Il y a encore un
par ArtyB » 28 Nov 2015, 22:11
En effet, j'ai fait une petite pause dans les maths, et je m'y suis replongé et oui en effet, j'étais tellement la tête dedans que je ne voyais plus ce que je faisais, merci Kolis
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