Changement de variables, intégrales doubles [résolu merci a moi même]

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Daft Punk
Messages: 8
Enregistré le: 25 Avr 2008, 15:01

changement de variables, intégrales doubles [résolu merci a moi même]

par Daft Punk » 03 Juin 2008, 11:39

Bonjour, voici un exercice qui me pose probleme, j'espere que vous pourrez m'aider.

Soit intégrale double sur D de (x²+y²)dx dy,

où D={(x,y)appartenant a R²; 0
1) Représenter graphiquement le domaine D.

2) A l'aide du changement de variables u=xy et v=y/x, calculer la valeur de cette intégrale.

désolé mais je n'ai pas trouvé les fonctions permettant d'utiliser les symboles mathématiques.

Merci d'avance.



jeje56
Membre Irrationnel
Messages: 1184
Enregistré le: 16 Jan 2007, 22:10

par jeje56 » 03 Juin 2008, 11:55

D est délimité par les droites d'équations y=1, x=1, et

En effet, pour les deux dernières :

<=y<=

Daft Punk
Messages: 8
Enregistré le: 25 Avr 2008, 15:01

par Daft Punk » 03 Juin 2008, 12:21

désolé, petite erreur dans l'énoncé, c'était trop simple comme ca :cry:
j'édite mon post.
merci pour ta réponse quand meme :we:

jeje56
Membre Irrationnel
Messages: 1184
Enregistré le: 16 Jan 2007, 22:10

par jeje56 » 03 Juin 2008, 13:14

Lol, j'avoue que ça n'a plus rien à voir...

Joker62
Membre Transcendant
Messages: 5028
Enregistré le: 24 Déc 2006, 21:29

par Joker62 » 03 Juin 2008, 14:02



1 <= y/x <= 3 <=> x <= y <= 3x
1 <= xy <= 4 <=> 1/x <= y <= 4/x

Suffit de tracer les fonctions appropriées et d'hachurer D...

Daft Punk
Messages: 8
Enregistré le: 25 Avr 2008, 15:01

par Daft Punk » 03 Juin 2008, 15:57

il suffit il suffit... facile a dire...
il suffit de résoudre l'exercice aussi.
un schéma peut aider, mais ca n'est pas la résolution du probleme.
On doit utiliser le jacobien etc pour le changement de variable, bien redéfinir les bornes

Joker62
Membre Transcendant
Messages: 5028
Enregistré le: 24 Déc 2006, 21:29

par Joker62 » 03 Juin 2008, 16:31

Je ne résolvais pas le problème, j'aidais à la question 1)...
Les équivalences me semblent claires... Enfin assez claire pour s'attaquer à une histoire d'intégrale double.
La deuxième question, c'est autre chose c'est sûr, autant commencer dans l'ordre non ?

Daft Punk
Messages: 8
Enregistré le: 25 Avr 2008, 15:01

par Daft Punk » 03 Juin 2008, 17:03

oui il faut faire dans l'ordre, mais faire un graphique de ce niveau est encore a ma portée
merci pour l'aide quand meme

passons a la question 2 maintenant, qui est beaucoup plus problematique :mur:

Joker62
Membre Transcendant
Messages: 5028
Enregistré le: 24 Déc 2006, 21:29

par Joker62 » 03 Juin 2008, 17:39

Bon ben attaquant la question 2 ensemble alors :)

On cherche à calculer l'intégrale de f(x,y) = x^2 + y^2 sur le domaine D
L'exercice propose le changement de variable Phi(x,y) = (u,v) = (xy;y/x)

La question 1) nous donne clairement que Phi(D) = [1;4]x[1;3] qui est donc un domaine rectangle beaucoup plus simple à manier.

Donc les étapes :
Calculer le jacobien de Phi
Utiliser le théorème général du changement de variable.
Si t'arrive pas j'suis là.

Je trouve 420 moi :^)

Daft Punk
Messages: 8
Enregistré le: 25 Avr 2008, 15:01

par Daft Punk » 03 Juin 2008, 17:48

sur un domaine [1:4]*[1;3] tu trouves 420 ?!?!
il faudrait avoir une fonction "grande".

j'ai finalement réussi, j'ai trouvé 10, le resultat me semble cohérent

merci a tous pour votre aide :we:

Joker62
Membre Transcendant
Messages: 5028
Enregistré le: 24 Déc 2006, 21:29

par Joker62 » 03 Juin 2008, 17:51

Lol :D me suis ptète trompé vui c'est possible :D mais la fonction va quand même loin sur ce domaine :) enfin je sais pas montre ta résolution pour voir

Daft Punk
Messages: 8
Enregistré le: 25 Avr 2008, 15:01

par Daft Punk » 03 Juin 2008, 21:36

on commence par exprimer x et y en fonction de u et v, on trouve x=racine de (u/v) et y= racine de (u*v)

ensuite en faisant le jacobien du changement de variable, je trouve J=1/2v

ensuite je repasse a l'intégrale double:

on a donc intégrale double sur D de (u/v + u*v)/(2v) du dv

D devient ainsi rectangle [1:4]*[1;3] comme tu l'avais dis, on se ramene au calcul de 2 intégrales simples successives, calcul bete et méchant, on arrive finalement a 10 si je ne me suis pas trompé.

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : bkAless et 97 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite