Intégrales

[ArtyB]

Bonjour à vous,

Après avoir réussis à démontrer que:


en ayant auparavant démontré par récurrence que:


Je bute sur les questions suivantes

a)Montrer que la fonction qui, à tout réel positif u, associe

est intégrable et décroissante sur [1;+oo[, et en déduire, pour tout u > 1, et tout entier
naturel n :


J'ai réussis à démontrer la décroissance et l'intégrabilité sur l'intervalle [1,+oo] ainsi que le caractère positif des membres de l'inégalité mais je ne sais pas comment démontrer la seconde inégalité, j'ai essayé par récurrence, sans succès

b) Montrer que:


c) On donne la valeur de l'intégrale de Gauss:


A l'aide du théorème de convergence dominée, montrer que :

d) Retrouver alors la formule de Stirling:

[MouLou]

Salut.
Pour la 2e partie de la première question, quel est le maximum de la fonction sur u>1?
Pour terminer remarque que .

Je prends mon papier et mon crayon pour les autres questions.

[MouLou]

Es tu sur de l'énoncé? Pour la c) ton hypothèses est inexacte:

.

Peut etre est-ce ?

[ArtyB]

Merci beaucoup de ta réponse.
Au temps pour moi pour l'intégrale de Gauss, il y avait un deux en trop sous la racine.

Ici comme on s'intéresse à l'intervalle , le maximum est atteint pour u=1 et .

J'avais remarqué cette relation oui mais je ne vois pas trop comment m'en servir pour démontrer le résultat

[MouLou]

Pareille pour la b) et l'énoncé en général: ce serait pas ? ca m'arrangerait pas mal pour la c .

[Ncdk]

Bonsoir MouLou,

C'est bien correct, en revanche on a : . Si je dis pas d'anneries.

Pour la c) c'est bien et pas ?

EDIT : Je pense que c'est dn, au vu du résultat la lim sous l'intégrale nous arrange bien !

[MouLou]

Nckd: non c'est plutot dt. Et il y'a pas mal d'autres coquilles je pense, notament le x qui n'apparait que dans la limite mais nulle part ailleurs, je considère que c'est un n.

Arty. Bah une fois que t'as cette majoration sur f(u) t'as juste à l'opérer sur et c'est plié non?

[ArtyB]

Désolé pour toutes les coquilles, c'est bien dt et non dr en effet, en revanche pour la b) c'est et non .
et l'intégrale est sur R et non sur R+ d'où le fait qu'il n'y ait pas de facteur 1/2 @Ncdk.

@Moulou je ne comprends pas comment tu introduits la relation entre dans l'inégalité c'est cela ?

[MouLou]

T'as une majoration bien plus puissante que 1 pour f(u), et donc pour ... Sers t'en!

[MouLou]

Pour les questoins b) et c) t'as 2 changement de variables à faire.

pour la b) le changement de variable te permet de ramener la fonction à intégrer à pour utiliser l'inégalité et l'intégrabilité de f.

Pour la c) c'est moins évident à voir , mais il faut se débrouiller pour se retrouver obliger de faire un dévelopement à l'ordre 2 de pour un u agréable.
indice: tu aimerais tomber sur . J'ai pas du tout l'impression d'avoir été clair la...

pour la d) conséquence immédiate de la b), c) et de :

[Ncdk]

Je sais pas si pour la b) on aurait pas pu faire de la convergence dominé en prenant

Je pense qu'en faisant un DL, on peut trouver que tend vers quand tend vers

Mais je trouve que le théorème de convergence dominée est un peu bizarre à utiliser :ptdr:
Mais on arriverait bien sur le résultat souhaité.

[MouLou]

Marche pas le TCD, pas de majoration uniforme en n intégrable.

[Ncdk]

C'est ce point qui me posé problème merci :D

[ArtyB]

Merci de vos réponses !

a)
@Moulou: Qu'entends tu par "une majoration bien plus puissante que 1 pour f(u), et donc pour " ? Je ne comprends pas, n vient de prouver que l'on avait
f(u)<1, soit que:




Mais l'on se retrouve face à un problème car ce qui ne nous arrange pas pour l'inégalité.

b) En faisant le changement de variable suivant: u=t/n pour avoir le (1+u)^n ?

c) En vrai je ne comprends pas du tout l'indice , je ne vois pas ce que cela vient faire là dedans, c'est quoi cette fonction de x ?

[MouLou]

t'as pas montré f(u)<1, mais f(u)<2/e, donc . C'est pas ce qu'on voulait??

Pour le f(x) c'est n'importe quoi. D'ailleurs dans le DL c'est et pas .

Ce que je voulais dire c'est plutot : on voudrait tomber sur un truc du type : nu^{2}/2=t^{2}/2, pour pouvoir faire apparaitre du -t^{2}/2, et appliquer ensuite le TCD et arriver à l'integrale de Gauss. C'est clair ou pas?

[ArtyB]

a)
Mais je suis totalement stupide en fait, je relisais les mauvais résultats sur ma feuille. Au temps pour moi, oui c'est d'une logique !

b)
Est-ce le bon changement de variable: =t/n pour nous permettre de placer le (1+u)^n ?

c)
Je ne dirai pas que c'est clair mais je crois voir l'intuition derrière tout ça, faut que je cherche un peu au brouillon et je reviens haha

[MouLou]

Oui a) et b) c est ça, et b faut travailler encore un peu en utilisant a. Oui je te laisse chercher un peu :)

[ArtyB]

Concentré que j'étais sur l'algèbre linéaire, j'en ai oublié mes intégrales !

Pour la b) on a le changement de variable u=t/n qui permet de passer de

à


Or en intégrant dans l'inégalité démontrée à la question précédente, on obtient:


Or on a:

donc:
d'où l'égalité à démontrer.

J'ai bon ?

[MouLou]

avec au lieu de a la fin, oui

[ArtyB]

Oui, au temps pour moi, merci MouLou !

En revanche pour ce qui est de la question suivante avec l'intégrale de Gauss j'ai un peu de mal. D'après ce que tu disais, il faudrait faire un changement de variable pour se retrouver avec quelque chose de la forme pour pouvoir avoir quelque chose ressemblant à l'intégrale de Gauss et appliquer le théorème de convergence dominée mais je ne comprends pas trop ni comment ni pourquoi le théorème de convergence dominée va nous amener au résultat que l'on cherche