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par **psp** » 06 Avr 2013, 15:22

Bonjour,

Pouvez vous m'aidez à montrer que intégrale (2 ; +inf) 1/(x^3 - 1) est convergente ?

Moi j'ai fait :

La fonction est continue donc intégrable sur son intervalle,
J'ai montré que 1/x^3 est équivalent à 1/x^3-1 car la limite du quotient de ces deux fonctions tend vers 1 en +inf, puis j'ai posé l'intégrale de Riemann, on a 1/x^;) avec ;)>1, l'intégrale converge.

Est ce que le raisonnement est juste, suffisant ?

Maintenant comment calculer sa valeur ?

J'aurai bien décomposé 1 / (x^3-1) en éléments simples mais je ne peux factoriser x^3 -1 qu'en (x-1)(x^2+x+1)

par **jlb** » 06 Avr 2013, 15:41

ça doit être bon , tu décomposes en élément de 1ère et 2ème espèce ta fraction et après c'est classique tu transformesl'élément de 2ème espèce en u'/u + alpha/u et tout doit s'intégrer en ln et arctan après tu passes à la limite.

par **adrien69** » 06 Avr 2013, 15:43

Bonjour,

Pouvez vous m'aidez à montrer que intégrale (2 ; +inf) 1/(x^3 - 1) est convergente ?

Moi j'ai fait :

La fonction est continue donc intégrable sur son intervalle Faux
J'ai montré que 1/x^3 est équivalent à 1/x^3-1 car la limite du quotient de ces deux fonctions tend vers 1 en +inf, puis j'ai posé l'intégrale de Riemann, on a 1/x^;) avec

>1, l'intégrale converge.

Est ce que le raisonnement est juste, suffisant ? Non, faut rajouter le fait que tu travailles avec des intégrandes à valeurs positives sur l'intervalle considéré

Maintenant comment calculer sa valeur ?

J'aurai bien décomposé 1 / (x^3-1) en éléments simples mais je ne peux factoriser x^3 -1 qu'en (x-1)(x^2+x+1) Fais-le ça t'aidera à trouver une primitive (loin d'être évidente d'ailleurs)

par **psp** » 06 Avr 2013, 16:00

Bonjour,

Pour l'élément simple en (x-1)^-1 j'ai trouvé le coefficient 1/3 mais je n'arrive pas à le trouver pour 1/x^2+x+1, j'ai pour habitude de passer à la limite qui annule le terme de première espèce mais puisque x^2+x+1 n'admet pas de racine dans R je suis un peu perdu

par **chan79** » 06 Avr 2013, 16:10

psp a écrit:Bonjour,

Pour l'élément simple en (x-1)^-1 j'ai trouvé le coefficient 1/3 mais je n'arrive pas à le trouver pour 1/x^2+x+1, j'ai pour habitude de passer à la limite qui annule le terme de première espèce mais puisque x^2+x+1 n'admet pas de racine dans R je suis un peu perdu

Salut

pour a, c'est bien 1/3

par **psp** » 06 Avr 2013, 16:31

Ok j'ai procédé par identification j'ai trouvé

bx + c = (-1/3)(x+2)

Maintenant comment avancer s'il vous plait ?

par **jlb** » 06 Avr 2013, 16:50

bx + c = (-1/3)(x+2)= (-1/6)(2x+1) +1/6-2/3=(-1/6)(2x+1) - 1/2

et après le quotient te donne une forme U'/U et un truc à écrire sous la forme 1/[(x+1/2)² +3/4)] que tu transformes pour intégrer avec arctan

par **psp** » 06 Avr 2013, 17:32

Là j'ai un peu de mal,

Au dénominateur j'obtiens

3/4 ([2/sqrt3(x+1/2)]^2 + 1) et au numérateur la même chose que toi

Maintenant je suis censé poser dx par du, j'obtiens dx = sqrt 3 / 2 du, je remplace dans le tout, le hic c'est que j'ai toujours un x au dénominateur !! sachant que la dérivée de arctan c'est u'/1+u^2 je vois mal comment intégrer avec un x en numérateur...

par **jlb** » 06 Avr 2013, 17:38

tu coupes en deux le numérateur: une partie donne la forme U'/U et l'autre, une forme dérivée de arctan

par **psp** » 06 Avr 2013, 18:04

jlb a écrit:tu coupes en deux le numérateur: une partie donne la forme U'/U et l'autre, une forme dérivée de arctan

Ouiiiiiiii j'ai tout trouvé !! Merci beaucoup tout le monde c'est génial ce forum ^^

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