Il faut montrer que :
Cette intégrale est impropre et les problèmes de convergence sont en 0 et en +oo. On la découpe en 2. On a donc :
Les deux assertions suivantes sont vraies :
1)
2)
1)
Lorsque t tend vers +oo , 1/t² tend vers 0 et donc -a² * 1/t² tend vers 0 d'où exp(-a² . 1/t²) tend vers 1 et donc la 2ème assertion est prouvée.
Lorsque t tend vers 0, 1/t² tend vers +oo et donc -a² . 1/t² tend vers -oo et exp (-a² . 1/t²) tend vers 0 donc la 1ère assertion est prouvée.
Comme les intégrales de 0 à 1 et de 1 à +oo de e^(-t²) convergent (celle de 0 à 1 n'est même pas impropre et celle de 1 à +oo converge, cela a été montré dans une question précédente), alors, par positivité de la fonction de départ, on en déduit que notre intégrale de départ converge.
Merci d'avance.