Integrales impropres et équivalents

[Azuriel]

Voila je ne suis pas sur de ma résolution alors je voulais vous la soumettre et que vous me donniez votre avis et si il y a des passages plus rapide ou evident.

Enoncé : Soit f,g continues sur R et tel que f ~ g en +linfini et

Int(0 à +linfini) (JE NOTERAI CETTE INTEGRALE I dans la suite et Ix quand jai x a la place de +linfini) de f diverge.

Mq I(f)~I(g)

Alors voila ce que j'ai fait :

f~g donc f(x) = g(x)(1+h(x)) tel que gh->0 quand x tend vers +linfini (et h tend vers 0 aussi) (jvoulais ecrire sous la forme f=g+h mais sa me pose probleme dans la suite dc je pense que jpe aussi ecrire cela)

j'ai donc Ix(f)/Ix(g) = 1 + Ix(gh)/Ix(g)

Je veux montrer alors que |Ix(gh)/Ix(g)| tend vers 0 en +linfini

Or |Ix(gh)/Ix(g)|=Ia(gh)/Ix(g) + Ia-x(gh)/Ix(g)

|Ix(gh)/Ix(g)|<Ia(gh)/Ix(g) + sup(h) sur [a,x]

or comme h tend vers 0 je choisis a assez grand tel que sup(h)<epsilon/2

Une fois fixé ce a puisque Ia(gh) est un nombre et que Ix(g) diverge alors il existe x assez grand tel que Ia(gh)/Ix(g)<epsilon/2

finalement pour x assez grand le tout est inferieur a epsilon dc sa tend bien vers 0 donc ok.

Mon probleme vient de la premiere phrase en gras car je n'arrive pas a resoudre avec f = g +h tt simple car je sais pas quoi faire du nombre (x-a)/Ix(g) si je fais cette methode pour montrer qu'il est inferieur a 1.

Merci de m'aider.

[alavacommejetepousse]

bonsoir

je n 'ai lu que jusque là :

-qu'est ce I(f) ? Ix(f) ?
- pas gh tend vers 0 mais h

[Azuriel]

je l'ai defini dans mon message ...

J'ai dit que c'était lintegrale de 0 à +linfini de la fonction mise entre parenthese.

Quand j'ai I indice x : Ix c'est lintegrale de 0 à x cette fois. Vala.

[alavacommejetepousse]

non tu as écrit I et Ix mais pas I (f)


donc I(f) est un nombre fixé, cela n'a aucun sens d'écrire que deux nombres sont équivalents

[Azuriel]

Non ce n'est pas un nombre vu que ça diverge, c'est l'integrale impropre qui est un objet mathématique et on peut parler d'equivalent car on veut montrer qu'elles divergent de la meme façon.

[alavacommejetepousse]

je te conseille de clarifier ces notions

tu as écrit que I était l'intégrale de 0 à l'infini :c'est un nombre

et comme l'intégrale diverge ce nombre n'existe pas ...