Integrales doubles

[Azuriel]

Alors voila, voici une integrale que j'ai reussi a calculer sans changement de variable mais maintenant on me demande de la calculer en changement de variable polaire et là je bloque ça marche pas, si vous pouviez m'aider..A titre indicatif, le resultat est nul, la voila :

f(x,y) = xy a integrer entre A = {(x,y) / x=>0 , x²/a² + y²/b² <= 1 (ellipse)}

J'aimerais avoir votre calcul en polaire svp car sinon je sais faire, d'ailleurs le resultat est 0.

Et en voila une autre que j'arrive a faire dans aucune des techniques :

f(x,y) = exp((x-y)/(x+y)) etA = {x positif, y positif, x+y<=1} (On peut poser u=x+y et v=x-y si on veut faire avec changement de variable).

Merci d'avance.

[kazeriahm]

pour la première pose
x=a*r*cos(t) et y=b*r*sin(t) ou r varie entre 0 et 1 et t entre 0 et 2Pi

[kazeriahm]

ah non pardon tu as x>=0 donc t varie entre -Pi et Pi

[Azuriel]

D'accord merci je m'en vais essayer cela. Et pour x tu ve dire qu t varie entre -pi/2 et + pi/2 non ? :)

[Azuriel]

Merci beaucoup ça marche nikel ! Une idée pour la deuxieme integrale ?

[Nuwanda]

Fait le changement de variable proposé, comme jacobien moi j'ai trouvé 1/2. Le domaine peut être vu comme u parcourant [0;1] et v [-u;u], fais un dessin de ton domaine sur le plan pour voir en quoi consiste le changement de variable.
Au final je trouve (e-e^(-1))/4, mais bon ça arrive de se gourer, vérifie quand même...

[Azuriel]

D'accord merci je vais voir ça.

[kazeriahm]

oui ct bien -Pi/2 +Pi/2, étourderie

[Azuriel]

C'est normal qu'avec le changement de variable u=x+y, v=x-y, moi j'obtiens comme jacobien -2 car ma matrice est [(1,1),(1,-1)] (en ligne) et donc son det = -1-1=-2..

De plus j'ai juste un peu de mal a comprendre pourquoi v varie entre u et -u..
Et meme mon plus gros probleme consiste a integrer exp(u/v) je n'y arrive pas..

EDIT : ah non désolé la jacobienne c'est bien 1/2 car ma fonction c phi(u,v) = (u+v/2,u-v/2). Mais mon probleme d'integration d'exp(u/v) reste toujours mon probleme.

[Nuwanda]

Si tu fais un dessin tu vois que ton domaine dans ta nouvelle base c'est un triangle rectangle, soutenus par les deux premières bissectrices, et vers les v positifs (fait un dessin avec ton domaine, et ttrace les nouveaux vecteurs de base et tu comprendras). Il est alors clair que u varie entre 0 et 1, et u étant fixé, v varie entre -u et u. Intégrer exp(v/u) par rapport à v ca va, et après ça devient une constante...

En gros la clef du truc c'est : dessine tes axes x et y, dessine ton domaine,
détermines des nouveaux vecteurs i' et j' en fonction de i et j, en sachant que xi+yj = ui'+vj', dessine alors i' et j' sur le même dessin pour voir ce que deviens ton domaine en fonction de i' et j'...