[Résolu] Intégrales Doubles

[Melkor]

Bonjour à tous, j'ai de gros soucis avec un exo sur les intégrales doubles.

I = ;);) xy dxdy sur un domaine D={(x,y) / x²+y²-x ;) 0 , x²+y²-y ;) 0}

Donc si j'ai bien compris, mon domaine D c'est la partie intérieur du cercle de centre (0,5 ; 0) de rayon 0,5 moins la partie intérieur du cercle de centre (0 ; 0,5) de rayon 0,5.

J'ai effectué un changement de variable en coordonnées polaires et j'ai obtenu :

I = ;);) (r^3)cos;)sin;) drd;) avec mon domaine D={(r,;)) / r-cos;) ;) 0 , r-sin;) ;) 0}

Sauf que là je bloque sur les bornes de mon intégrale.


J = ;);) (x+y)sin(x)sin(y)dxdy sur un domaine ;)={(x,y););)² / x²+y² ;) 1}

Là je bloque sur le changement de variable, en coordonnées polaires j'obtiens du sin(rcos;)) que je ne sais pas intégrer.

K = ;);) dxdy/(1+x²tan²y) sur un domaine ;)=[0,1]*[0,pi/2]

comme on a une surface rectangulaire, j'ai essayé de séparer les variables en posant u=tan(y) mais là aussi je bloque, j'obtiens :

K = ;);) dxdu / [(1+x²u²)(1+u²)]

et je ne vois pas comment continuer

Merci d'avance pour tout conseils ou toutes aides :)

[fourize]

K = dx dy
tu integre d'abord par rapport à x en considerant y comme constante, puis par rapport à y ...

[Melkor]

...
...
...
:ptdr:

oui vu comme ça, comme quoi faut pas chercher midi à 14h :ptdr:

dans ce cas, est-ce-que pour mon intégrale J, après changement de variables, je peux d'abord intégrer par rapport à r en considérant ;) fixe puis par rapport à ;) puisque le changement de variables transforme mon domaine en un rectangle [0,1]*[0,2pi]?

J = ;);) r²(cos;)+sin;))sin(rcos;))sin(rsin;))drd;)

[Doraki]

Pour I, je ne pense pas que le passage en coordonnées polaires soit d'une quelconque utilité (en plus pour theta<0 ton domaine est mauvais).
Fais un dessin, intègre par rapport à l'une des variables, puis par rapport à l'autre (comme pour toutes les autres, en fait).

[fourize]

je n'ai pas fait le changement de variable, mais je suis d'accord ... pour J . si le domaine se transforme en produit d'intervalles :we:

[Melkor]

J'ai trouvé
I= -
et
K=

[Melkor]

Bonsoir
Pour J, j'ai fixé x entre -1 et 1
donc y varie de - à
Après calcul, je me retrouve bloqué à :

J =

et je ne vois pas du tout comment conclure

Merci d'avance pour votre aide.

[Ben314]

J'ai l'impression que, pour J, il y a une GROSSE ASTUCE : il ne faut pas essayer de la calculer, mais constater que :
1) la fonction a intégrer f(x,y)=(x+y)sin(x)sin(y) vérifie : f(-x,-y)=-f(x,y)
2) le domaine D sur lequel on intégre vérifie : (x,y) dans D <=> (-x,-y) dans D

Avec ces deux propriétés, tu doit pouvoir déduire la valeur de l'intégrale...

[Melkor]

merci, oui pour J on a une symétrie centrale
j'ai regardé la parité de ce que j'ai obtenu après avoir intégré une fois et j'ai trouvé une fonction impair à intégrer entre des bornes symétriques => J=0 ^^