Intégrale (variance)
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aure555
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par aure555 » 25 Mai 2008, 15:10
Bonjour,
voici l'énoncé :
On demande de calculer la moyenne et la variance de la variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par la densité
 = \frac{1}{\Pi}\frac{1}{1+x^2})
pour tout x réel
Pour la moyenne j'ai ceci :
car
 = x \frac{1}{1+x^2})
est une fonction impair.
Pour le calcul de la variance
 = E(X^2) - [E(X)]^2 = E(X^2))
J'ai donc
 = \frac{1}{\Pi}\large\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \frac{1}{1+x^2} \qquad= \frac{2}{\Pi}\large\int_{0}^{+\infty} x^2 \frac{1}{1+x^2}\\)
mais là je bloque...
J'ai essayé avec une intégralepar partie et je me retrouve avec des intégrales d'arctg à calculer... Elle a l'air pourtant simple
Merci pour votre aide
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fatal_error
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par fatal_error » 25 Mai 2008, 15:22
Bonjour,
je ne connais pas les variances toussa, mais on peut simplifier
non?
la vie est une fête
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Hydre
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par Hydre » 25 Mai 2008, 15:39
Salut,
Oui mais intégrer une constante sur un intervalle infini ^^ pas cool
En intégrant 3 fois par parties, j'obtiens que
]_{0}^{+\infty}})
Convergent ?
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aure555
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par aure555 » 25 Mai 2008, 15:43
Oui voilà merci :happy2:
J'ai donc alors au final
]_{0}^{+\infty} = +\infty - 1 = +\infty)
si je ne me trompe pas...
Mais cette réponse me semble bizarre pour la variance non?
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Hydre
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par Hydre » 25 Mai 2008, 15:45
Oui ça ne converge pas, donc la variance n'existe pas. Avant tes calculs, il faut toujours mettre "sous réserve d'existence" quand tu calcules une intégrale infinie, et il vaut mieux avant de se lancer dans les calculs, prouver l'absolue convergence de l'intégrale (ici ça revient à prouver la convergence).
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aure555
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par aure555 » 25 Mai 2008, 15:51
D'accord merci pour toutes ces explications
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