Intégrale trigonométrique

[sarah2627]

Bonjour à tous !

Il m'a été donné pour Lundi un DM de math sauf que à vrai dire je n'y comprends pas grand chose. Donc si une âme charitable veut bien m'aider voici l'énoncé :

[Lostounet]

Si a = b = 0, tu as une intégrale très facile pourtant...

[sarah2627]

Pour moi ici, je trouve le résultat de 2pi mais je ne sais pas du tout si c'est ça

[Lostounet]

Ben oui tout simplement, c'est l'intégrale de 0 à 2 pi de cos(0)*cos(0) = 1*1 = 1

Pour le b), tu dois cherche une primitive de la fonction cos(ax)cos(bx) = cos(ax)*cos(ax) = cos(ax)^2.

[sarah2627]

D'accord merci,

Donc si je comprends bien je le passe en puissance et après j'utilise la formule 1/2[1+cos(2ax)] ?
Et est-ce que je fais de même pour le b, par exemple 1/2[1+cos(2ax)] + 1/2[1+cos(2bx)] ?

[Lostounet]

Je ne comprends pas pourquoi tu veux faire de même pour b.
On a déjà utilisé l'hypothèse a = b en remplaçant le b par a pour trouver cos^2(ax) non?

De toute manière a=b, tu n'as donc pas besoin de distinguer a et b .. c'est le même nombre.

[sarah2627]

Ah oui d'accord je n'avais pas saisi que l'on utilisait l'hypothèse de a=b.

Du coup cela nous donnerait :
cos^2(alpha*x) = 1/2 [1+cos(2alpha*x)]
= 1/2 + 1/2cos(2alpha*x)
= 1/2 + cos(alpha*x)
= 1/2 + cos(alpha*(a+2pi)) - (1/2 + cos(alpha*a))
= cos (alpha*(a + 2pi)) - cos (alpha*a)
= cos (2pi)
= 1

[Lostounet]

Depuis quand cos(2ax)/2 donne cos(ax) ?

[sarah2627]

Ah mince je me disais bien que c'était trop beau pour être vrai.. du coup ça complique un petit peu les choses

[sarah2627]

Cela vous semble-t-il correcte ?

[jlb]

Salut, il y a une erreur de développement quand tu évalues en a+2pi à la fin, un alpha a disparu. Et du coup ta conclusion est foireuse si alpha n'est pas un entier.

[sarah2627]

J'avoue que je ne retrouve pas le alpha qui a disparu, c'est à quelle ligne ?

[jlb]

passage de 1/2 (2pi) + .... à la ligne suivante:: sin(2alpha(a+2pi) cela donne sin(2alpha a + 4alphapi)

[sarah2627]

Parfait merci, j'ai réussi mais j'ai maintenant une intégrale plus complexe à résoudre où je ne sais pas comment faire pour les questions b) et c). C'est la même intégrale que toute à l'heure avec cos(alphax) * sin(betax).
Si vous pouviez me donner une piste pour que je commence au moins quelque chose. Merci beaucoup pour vos réponses !

[jlb]

C'est par rapport à l'exercice de départ? Tu viens de traiter le cas alpha = béta (b) , il te reste la question c), c'est cela?

[sarah2627]

Non, c'est avec cos(alphax) * sin(betax)

[jlb]

Toutes questions se traitent en linéarisant tes expressions ( apprends pour cela, les formules cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b) ou retrouve-les à l'aide des exp complexes)

Dans ton exo, i faut utiliser cos(alphax)sin(bétax) = [sin((béta+alpha)x) + sin((béta-alpha)x)]/2, que tu peux intégrer facilement quand alph diff de béta, le cas alpha =béta est facile.

[aymanemaysae]

Bonjour ;

On a :



donc :



Cela montre que les cas à étudier sont :

1) et

2) ( ou ) et qui est équivalent à :

3) ( ou ) et