Bonjour barbu23,
Que signifie "résoudre ces integrales" ?
Cette question est ambigue et on peut y répondre de diverses façons, parfois contradictoires, comme pour toute question dont les termes sont ambigus.
Bien sûr, la fonction indiquée possède des primitives. On peut les étudier, les décrire, expliquer certaines de leurs propriétés, les calculer numériquement, etc.
Mais la question est peut-être "peut-on exprimer I(x) par une formule comportant uniquement un nombre fini de fonctions connues" ?
"Fonctions connues" signifiant les fonctions dites "usuelles" ou "élémentaires" et les fonctions dites "spéciales" répertoriées.
Pourquoi "un nombre fini de fonctions" ? Parce qu'on peut aussi rechercher une série infinie (donc qui comporte un nombre infini de fonctions connues) pour exprimer une primitive de la dite fonction : c'est une autre façon de répondre à la question posée.
Finalement, de deux choses l'une :
- soit les études de la fonction à intégrer aboutissent à une ou des formules comportant un nombre fini de fonctions connues, au quel cas on a répondu à la question posée,
- soit elles n'aboutissent pas. Dans ce cas, on défini une nouvelle fonction dite "spéciale", la fonction Barbu(x) par exemple. On l'étudie, on décrit ses propriétés, on en fait des mémoires, voire une thèse, on publie, etc. Si cette nouvelle fonction présente un intérêt général, si elle est souvent citée, si de nombreux auteurs l'utilisent, elle devient une fonction connue et apparait dans les répertoires de fonctions spéciales.
A partir de ce moment, on peut répondre à la question " une primitive de arctg(x)ln(x)sh(x) peut-elle s'exprimer avec un nombre fini de fonctions connues" ? La réponse est : "Oui, et qui mieux est une seule suffit : c'est la fonction Barbu(x) ".
Ce sujet est discuté de façon générale dans un article de vulgarisation "Safari au pays des fonctions spéciales" :
http://www.scribd.com/doc/14623310/SAFARI-au-pays-des-fonctions-speciales-
