Intégrale

par **e2_68** » 27 Jan 2009, 15:55

Bonjour tout le monde
Je bloque sur cet exo : :mur: :help:
f et g deux fonctions continues sur [a;b]. I_n est l'integrale entre a et b de f * g^n
Montrer I_{n+1} / I_n tend vers le maximum de g
Montrer que racine n-ième de I_n tend vers le maximum de g

quelqu'un aurait-il une piste ?

par **mathelot** » 27 Jan 2009, 16:00

bonjour,

déja; numérateur et dénominateur sont définis à
un facteur près.

par **e2_68** » 27 Jan 2009, 16:07

Oui, et ce facteur est compris entre m (minorant de g sur [a;b]) et M majorant de g (majorant de g sur [a;b]). Mais j'ai du mal à le trouver. (Faut-il d'ailleurs nécessairement le trouver ?)

par **izamane95** » 27 Jan 2009, 17:11

e2_68 a écrit:Bonjour tout le monde
Je bloque sur cet exo : :mur: :help:
f et g deux fonctions continues sur [a;b]. I_n est l'integrale entre a et b de f * g^n
Montrer I_{n+1} / I_n tend vers le maximum de g
Montrer que racine n-ième de I_n tend vers le maximum de g

quelqu'un aurait-il une piste ?

qu'a tu fais dans cet exo et qu'est ce qui te bloque la dedans ???

par **e2_68** » 27 Jan 2009, 21:43

Quel que soit t dans [a;b],
m<=g(t)<=M
m*f(t)*g(t)^n<=f(t)*g(t)^n+1<=M*f(t)*g(t)^n
en intégrant entre a et b j'obtiens :
m*In<=In+1<=M*In

J'arrive pas à obtenir une relation (autre que cette inégalité) entre In et In+1 :cry:

J'ai essayé des intégrations par partie dans tous les sens. Mais j'aboutis pas et en plus, f et g sont pas forcément dérivables. :hum:

J'ai dit aussi qu'il existait c dans [a;b] tel que In+1/In=g(c)
Mais j'arrive pas à aller plus loin.

J'arrive pas à montrer que La suite (In+1/In) converge. (Au moins j'ai trouvé que c'est borné ! :zen: )

par **mathelot** » 28 Jan 2009, 06:16

bonjour,

il faut opérer plusieurs réductions.
se restreindre à

,

et f qui vaut identiquement 1.

donc considérer

soit

on peut donc supposer

par **Maxmau** » 28 Jan 2009, 13:04

Bj
g positive de max égal à 1 sur [a,,b]
Soit ;) > 0. On peut lui associer [;),;)] inclus ds [a,,b] tq
Sur [;),;)] 1 ;) <= g <= 1
Je note ;) la fonction nulle en dehors de [;),;)] et qui vaut 1-;) sur [;),;)]
on a : ;) <= g <= 1 sur [a,,b]
en élevant à la puissance n et en intégrant sur [a,,b] , on doit pouvoir en tirer des choses

par **e2_68** » 28 Jan 2009, 13:22

Merci pour votre aide.
Je crois avoir trouvé.
Je pose h=g/M

L'intégrale de f*h^n*(h-1) tend vers O quand n tend vers l'infini.

Donc :
intégrale de f*h^(n+1) / intégrale de f*h^n tend vers 1

In+1/In = M*{intégrale de f*h^(n+1) / intégrale de f*h^n}
Donc In+1/In tend vers M.

:zen:

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