Intégrale de 1+||y||^2

[melreg]

Bonjour,

C'était difficile pour moi de trouver un titre qui colle avec ma question. La voici:
Je dois montrer que pour n un entier strictement positif et t.q Alors



Merci d'avance

[Doraki]

Si tu découpes R^n en sphères de rayon r, t'as plus qu'une simple intégrale sur r.

T'es sur que c'est pas s>n la condition ?

[melreg]

Oui, c'est bien s>n/2... mais je ne comprends pas bien ce que tu veux que je fasse...

[Doraki]

Ta fonction à intégrer ne dépend que du rayon, donc faut faire un changement de variable en coordonnées "sphériques", sachant que l'aire d'une sphère est en r^(n-1)

[melreg]

D'accord dans le principe, mais quelles sont les coordonnées sphériques dans
?

[Doraki]

Tu décomposes R^n \ {0} en R+* x Sn, où Sn est la sphère de rayon 1, via le rayon. La paramétrisation de la sphère tu t'en fiches parceque ta fonction est constante sur chaque sphère.



où An est l'aire de la sphère en dimension n.

[melreg]

D'accord... sauf peut-être pour le Jacobien du changement de variable. Je pense que tu vas me répondre que c'est qqch de la forme :



où f est continue sur compact donc son intégrale est bornée

C'est quelque chose comme ça?

[Doraki]

Ben la mesure que je prends sur la sphère c'est une mesure uniforme, on intègre sur des "surfaces" élémentaires dtheta.
Le changement de variable se fait en disant que le volume correspondant à un (dr autour de r) x (dtheta autour d'un point x de la sphère), il vaut ((r^(n-1)dr dtheta) autour du point de l'espace r*x)
On fait ça tous les jours en physique.
J'crois pas qu'on puisse parler de Jacobien sans donner explicitement une paramétrisation pour la sphère et avoir un truc horriblement moche.

Intuitivement, c'est juste dire que l'intégrale sur tout l'espace c'est de l'intégrale pour r dans R+ de (l'intégrale sur la sphère de rayon r de ta fonction)dr et de dire que l'aire de la sphère est en r^(n-1).

[melreg]

Je ne suis pas très "physique". Mais comme ce n'est qu'une majoration, je me permets de ne pas expliciter le jacobien. Je crois que je vais me contenter de ça, ça ira très bien.

Merci beaucoup à toi!