Integrale

[MarKo59]

Bonjour à tous,

Voila je bloque sur une question d'analyse qui est la suivante :

On considère une fonction f définie sur R+* dans R+*, décroissante et de limite nulle en + l'infini

Dans la question qui me pose problème, on rajoute l'hypothèse que la limite de f en 0 est +l'infini et on demande de prouver que l'intégrale de x à x+1 de f est négligeable devant f(x) quand x tend vers 0.

Voila merci d'avance pour les lumières que vous pourriez m'apporter sur cette question sur laquelle je bloque depuis quelques jours déjà.

[fahr451]

bonsoir
prenons x<1
soit 1>epsilon >0 fixé
pour xI(x) = intégrale [x,1+x] f(t) dt

I(x) = intégrale [ x, epsilon ] f + intégrale[epsilon ,1+x] f
par décroissance et positivité
I(x) =< (epsilon -x) f(x) +intégrale [epsilon ,2] f

donc

I(x) / f(x) =< epsilon -x + constante / f(x) = h(x)

avec lim h = epsilon en 0

donc il existe alpha tel que pour x
et donc I(x) /f(x) =< 2 epsilon ce qui est la déf de I(x)/f(x) -> 0

[MarKo59]

Merci bien pour la réponse Fahr451 :happy2: