Intégrale

[mathelot]

Bonjour,

quelqu'un(e) sait calculer :



avec n > 0, m > 0 ?

A mon avis, le problème , c'est de simplifier avant d'appliquer la décomposition en éléments simples, parce qu'au dénominateur, toutes les racines sont simples.

Merçi pour vos suggestions.

[serge75]

J'ai un petit doute sur ton énoncé. En es-tu sûr?
Sinon si tel est le cas, j'en veux bien la correction le jour où il te sera corrigé.
Serge

[Ted]

A essayer:

si mes souvenirs sont bon, on peut ecrire 1/(1-x) comme une somme si x est dans ]0;1[?

1/(1-x)=1+x^2+x^3+.......+x^i+........

=somme x^i
Bien sur on change x en x^n, ca pose pas de probleme je pense, puisque x^n est aussi dans ]0;1[
Maintenant le probleme c'est d'intervertir la somme et l'integrale (reterai plus qu'un joli polynome).
Il faut voir comment ça converge. Je pense que si on arrete la somme à x^i , il reste un terme en x^(i+1)/(1-x^i).
Est-ce que ça converge en norme avec le reste de la fonction? je ne sais pas... Mais dans ]0;1[ je vois pas vraiment comment ça convergerai mal.
A voir.

[mathelot]

bonjour,

le problème cette intégrale provient d'une série, je souhaiterai la calculer pour sommer la série.

[abcd22]

Bonjour,
Pour la decomposition en elements simples il faut deja calculer la partie entiere : on a m = nq + r, 0 =< r < n, ... et euh j'ai pas de papier pour ecrire les calculs mais tu devrais savoir faire (le cas ou r = n-1 est a distinguer je pense). Ensuite quand on a une fraction rationnelle A/B avec B qui n'a que des poles simples et deg A < deg B, le coefficient devant 1/(x-a) (ou a est un pole de B) dans la decomposition est A(a)/B'(a). Avec ca on peut calculer l'integrale, mais je ne sais pas si c'est le plus rapide.
En fait apres reflexion je me dis qu'un changement de variable devrait mieux marcher car il elimine le qui est devant.

[mathelot]

bonjour,
j'ai le problème suivant:

j'ai une fraction rationnelle de polynômes
avec deg(P) < deg(Q)
où le polynome n'a que des zéros simples, malheureusement,
la fraction n'est pas simplifiée et P et Q ont des zéros communs.


Est-ce qu'il y a une formule de décomposition en éléments simples
qui s'appliquerait à une fraction non simplifiée ?

Merçi d'avance.

[serge75]

Si tu en connais les pôles (ie les zéros non simplifiables) : oui.
Si j'appelle a1...an ces pôles, la décomposition est donnée par la somme des où b_i est donné par .
Celà répond-il à ta question ?

[mathelot]

merçi beaucoup, serge.

Est-ce que la formule
s'applique à la forme non simplifiée ?
ça m'arrangerait énormément.
(si je trouve un théorème, je partage avec vous ..et abcd22 :zen: )
oui, j'ai réfléchi. Extraordinaire !!! la formule s'applique
à la forme non simplifiée.

[serge75]

oui, mais dans le cadre strict de tes hypothèses, à savoir les zéros de Q sont simples, ce qui entraine que les pôles de ta fraction rationnelle ne sont pas des zéros simplifiables (en d'autres termes, ça ne marcherait pas si a était racine double de Q et racine simple de P). Ici les seuls zéros simplifiables de Q ne sont pas pôles du fait qu'ils sont racine simple et disparaissent après simplification. Ai-je été clair ?

[serge75]

C'est plus fort que moi, je ne peux pas en rester là et vais te donner la cause de ce coefficient.
On appelle donc a_1,...a_n les pôles de ta fraction F, qui sont donc des racines simples de Q. Ainsi Q s'écrit où R est un polynôme qui ne s'annule pas sur les a_i.
i étant fixé entre 1 et n, on a ainsi où Q_i n'est pas nul en a_i.
Classiquement, on écrit . On multiplie par X-a_i et on évalue en a_i, et on obtient .
Reste à évaluer .
On dérive l'expression et on obtient :
. Reste à évaluer en a_i et tu obtiens d'où le résultat.
On notera que cette formule est vraie pourvu que a_i soit une racine simple de Q et non racine de P, indépendemment de ce qui se passe pour les autres racines.
Serge

[mathelot]

merçi. :we: