Intégrale

[sensor]

Bonsoir.
Sur un exercice sur les intégrales je bute sur quelques questions.
Voici l'énoncé :
a et b sont des réels fixés avec a=1, trouver une relation entre Ip,q et Ip+1,q-1.
3)En déduire que Ip,q=((b-a)p+q+1p!q!)/(p+q+1)!
4)Pour tout n€N, on pose
an=\int_{-1}^1 (1-x²)n\, \mathrm dx
an c'est l'intégrale de -1 à 1 de (1-x²)n dx
a) Donner la valeur de an.
b)Montrer que an>= 2/(n+1)


Réponses :
1) Je trouve Ip+q=((b-a)p+q+1)/(p+q+1)
2) Avec une intégration par parties je trouve Ip+1,q-1=((p+1)/q)Ip,q
3)En utilisant la formule du 2 j'arrive à :
(q!(b-a)p+q+1)/(p+q)!(p+q+1)

Je n'arrive pas à la relation demandé dans l'énoncé.

4)a) Je trouve que an=In,n=
(22n+1*(n!)2)/(2n+1)!
b) Je n'ai rien trouvé , même en essayant de majorer ou silmplifier.

Merci de m'aider pour la question 3) et 4b).

[fahr451]

bonjour

ton résultat est correct il n ' y a pas de p!

[fahr451]

on a ce que dit l énoncé

I(p,q) = q/(p+1) I(p+1,q-1)

d'où

I(p,q) = q (q-1) ....1 /[(p+1)(p+2)...(p+q)] I(p+q,0)

et le résultat en multipliant en haut et en bas par p!

I(p,q) = q! p! /(p+q+1)! (b-a) ^(p+q+1)

pour a =-1 b = 1 p = q = n on a a(n)

a(n) = 2^(2n+1) n!^2 /(2n+1) !

on a a(n) = 2/(2n+1) u(n) avec u(n) = 2^(2n) (n!)^2/(2n)!

reste à voir que u(n) >=1

par exemple effectue u(n+1) /u(n) = 4(n+1)^2 /(2n+1)(2n+2) > 1

donc u croit et u(0) = 1

[sensor]

Merci pour l'aide.
Au passage, j'avais trouvé la bonne formule pour (an) mais j'ai mal tapé.
@+