Intègrale

par **sandrine_guillerme** » 07 Déc 2006, 00:07

Salut tout le monde ..

alors j'ai une petite question
soit f continue sur [0,1] tel que :

pour toute fonction g dérivable sur [0,1] je veux montrer que f = 0 .

peut être par absurde mais je sens que je sens que je suis dans un cercle vicieux .. si vous pourriez m'eclaircir le chemin svp ?

Merci d'avance .

par **fahr451** » 07 Déc 2006, 00:27

connais tu le théorème de weierstrass ?

par **sandrine_guillerme** » 07 Déc 2006, 00:36

ah non , je suis en L2 math .. :/

par **fahr451** » 07 Déc 2006, 00:41

il dit que toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d 'une suite Pn de polynômes donc ici en l 'utilisant l'intégrale sur o 1 de f Pn est nulle et par passage à la limite (licite la convergence étant uniforme) on trouve que l intégrale de f^2 est nulle et par le critére de stricte positivité de l intégrale pour les fcts continues f^2 est nulle et f aussi.

par **sandrine_guillerme** » 07 Déc 2006, 00:44

Oui j'avais vu sur Wikipédia ... mais en fait jon a pas vu ça en cours ..

c'est l'intègrabilité au sens de Riemann les formules de la moyenne et intègrale fonction d'une borne du gégment d'intègration , intègrales impropres .. :/

par **fahr451** » 07 Déc 2006, 00:53

on peut faire une autre démonstration :
connais tu les fonctions plateaux ? pour c
faire un dessin ( c 'est un créneau qu ' on a peu "lissé") en supposant f non nulle, par continuité et utilisant une telle fonction plateau on arrive à une contradiction

par **sandrine_guillerme** » 07 Déc 2006, 01:01

Les fonctions plateaux... :doh:
se sont pas les fonctions en escaliers ??

NON :doh: :doh:

attends, par l'absurde , ce que tu m'as dis reviendera a poser une fonction

et

sinon
ensuite avec un encadrement on aboutit à une contradiction ..

Tu me suis ?

par **fahr451** » 07 Déc 2006, 01:08

c 'est parfait; les fonctions plateaux (ou le théorème de weierstrass ne serviraient ) que si ton énoncé se limitait aux fonctions de classe C infinie

par **sandrine_guillerme** » 07 Déc 2006, 01:13

C'est cool Alors :)

Maieuh t'en vois un encadrement toi? je sais qu'il faut imposer des conditions sur f .. mais bon là je sèche ..

par **fahr451** » 07 Déc 2006, 01:22

concrètement en supposant f non nulle il existe un point x0 où f ne s 'annulle pas quitte à prendre -f on suppose que f(x0) >0 puis par continuité il existe un intervalle ( centré en x0) [c,d] sur lequel f vérifie f(x) >f(xo)/2 en prenant
la fonction g comme tu la proposes fg est nulle hors de [c,d] et l'intégrale sur [0,1] vaut l'intégrale sur [c,d] supérieure à f(xo)/2 * l'intégrale de g sur [c,d]
quantité strictement positive car g est continue positive non identiquement nulle sur [c,d]

par **sandrine_guillerme** » 07 Déc 2006, 01:50

hé bah merci bien, c'est exactement à ça que j'avais pensé mais j'avais du mal à l'exprimer ..

Merci encore

par **yos** » 07 Déc 2006, 08:51

Bonjour.
Tu peux aussi interprèter ton hypothèse par le fait que la fonction f est orthogonale à toute fonction dérivable pour le produit scalaire

. Tu as donc une fonction orthogonale à tout l'espace.

par **fahr451** » 07 Déc 2006, 10:49

ben a priori seulement orthogonale au sev des fcts dérivables Reste à montrer la densité de ce sev

par **sandrine_guillerme** » 07 Déc 2006, 12:06

c'est vrai que c'est une bonne idée, mais comment montrer la densité de ce sev ?

par **fahr451** » 07 Déc 2006, 12:15

th de weierstrass (ouaff ouaff) : toute fct continue est limite uniforme sur [0,1]d une suite de fcts de classe c infinie (polynômes ) d'où la densité pour la norme 1 . Y a que deux options soit on connait des théorèmes "généraux" on les applique c'est évident; soit on n' en connait pas trop et on bricole pour donner une démonstration élémentaire ( souvent d'ailleurs le même genre de bricolage a servi pour établir ces théorèmes)

par **sandrine_guillerme** » 07 Déc 2006, 12:25

humm Ok, j'aime bien alors ..

écoutez .. Merci bien de votre aide tout simplement :lol4:

par **yos** » 07 Déc 2006, 12:35

sandrine_guillerme a écrit:c'est vrai que c'est une bonne idée, mais comment montrer la densité de ce sev ?

Ca revient à ce que vous avez fait plus haut. Je n'ai donné qu'une interprétation géométrique de la question.
Les polynômes sont denses dans les fonctions continues sur un compact, donc les fonctions dérivables le sont a fortiori. On doit pouvoir faire sans Stone-Weierstrass d'ailleurs.

par **sandrine_guillerme** » 07 Déc 2006, 22:26

Autre méthode

on sait que g est dérivable, donc par hypothèse, on a

on intègre par partie en posant

j'ai travaillé l'exercice à l'envers pour voir ça

par **sandrine_guillerme** » 07 Déc 2006, 23:43

C'est encore moi ..

yos : tu es sur que l'on puisse appliquer ce que tu as dis ?
je pense que ça ne marche pas car f est seulement supposée continue.

par **fahr451** » 08 Déc 2006, 07:47

sandrine donne les détails de ton calcul s'il te plait car je suis dubitatif

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