Intègrale

[sandrine_guillerme]

Salut tout le monde

j'ai une question sur les intègrales en faite

je veux montrer que f : R*->R f(x) = intègrale entre x et 2x cos ( t ) /t dt j'ai montrer qu'elle est définie et paire maintenant je veux montrer qu'elle est continue et déruvable ..

pourriez vous m'aider svp ??
Merci

[fahr451]

la fonction h définie par h(t) = cost/t est continue ( même de classe infinie sur chaque intervalle ]-infini,0[ ,]0,+infini[ est admet donc une primitive H; pour x >0 [x,2x] est inclus dans R+* et pour x<0 [2x,x] dans R-*
donc f est définie sur chaque intervalle et f(x) = H(2x) -H(x) ;
f est donc de classe C infinie comme H.

[sandrine_guillerme]

Salut
Merci d'avoir répondu,
c'est exactement à ça que j'avais penser
mais regardons ensemble ce qui se passe en 0 ,

moi je trouve qu'elle est dérivable en 0 tu veux vérifié s'il te plaît ?

P.S: On pourrait même remarque que f est paire et étudier juste le cas oû x > 0

[fahr451]

en 0 c'est une autre question f n'existe pas a priori en 0
intuiivement pour x proche de 0 tous les t compris entre x et 2x le seront
or en 0 h(t)= cost/t équivaut à 1/t

si on remplace h(t) par 1/t ds l 'intégrale on trouve ln2x - lnx = ln2 .
On montre qu'effectivemen ln2 est la limite de f en 0
pour cela
on fait f(x) -ln2 = intégrale (les bornes étant x et 2x) de u(t)=h(t)-1/t
un dl de u en 0 montre que u tend vers 0 en 0 donc u se prolonge en une fonction continue sur R et en notant U une primitive de u l'intégrale vaut:
U(2x)-U(x) qui tend vers 0 car U est a fortiori continue en 0

[fahr451]

On a donc prolongé f par continuité en 0 en posant f(0) = ln2
puis f(x) = ln2 +U(2x)-U(x) ; U étant de classe C1 sur R car u est continue sur R , f l'est également : f'(0) = 2U'(0)-U'(0) = U'(0) =u(0)= 0

[sandrine_guillerme]

Merci beaucoup .


Bonne nuit :dodo:

[jose_latino]

On a donc prolongé f par continuité en 0 en posant f(0) = ln2
puis f(x) = ln2 +U(2x)-U(x) ; U étant de classe C1 sur R car U est continue sur R , f l'est également : f'(0) = 2U'(0)-U'(0) = U'(0)= 0

Mais, il faut démontrer que U est dérivable en 0, mais c'est faux que tu puisses faire une extension continue de U à

[fahr451]

lire : U est de classe C1 car u est continue sur R: u(t) = (cost -1)/t sisi c est vrai .

[sandrine_guillerme]

oué voila c'est dans le calcul de la dérivée que je me suis aperçu ça moi LOL :)

et lim x->0 f'(x) = 0

Merci