Intégrale

[loulou231]

Bonsoir,
j'ai besoin d'aide pour cet exo...svp.

On pose
In = intégrale (de 0 à pi) de ((x^n(pi - x)^n)/n!)sinx dx

a) Montrer que In est strictement positif.
b) Montrer que la suite (In) est convergente vers 0.
c) En effectuant 2 intégrations par parties, démontrer la relation (si n>=2)
In = 2(2n-1)In-1 - pi²In-2

Voilà, merci beaucoup d'avance
A+ :--:

[maturin]

a) ben tu peux dire:
((x^n(pi - x)^n)/n!)sinx > 0 pour x dans ]0,pi[
et ((x^n(pi - x)^n)/n!)sinx integrable
donc In>0

b) sur ]0,Pi[ tu as
sinx < 1
xpi-x
donc 0et une suite type a^n/n! tend vers 0.

c) avec int(fg')=[fg]-int(f'g)
alors tu poses f(x)=x^n(pi-x)^n/n! et g'(x)=sinx
tu fais une première intégration par partie là dessus.

après tu poses f(x)=(x^(n-1).(pi-x)^n+x^n.(pi-x)^(n-1))/(n-1)! et g'(x)=cosx
tu fais une deuxième intégration par partie
tu devrais voir apparaitre des termes en x^n-1(pi-x)^n-1 qui correspondent à ton In-1
et en factorisant le reste par x^n-2.(pi-x)^n-2 tu devrais voir apparaitre des In-2 et encore du In-1.

C'est du calcul la seule astuce c'est de dire que x²+(pi-x)²=pi²-2x(pi-x).