Intégrale L2

[lightone]

Bonjour,

j'ai cette intégrale à faire.

Soit x appartenant à [0, 1[, calculer Intégrale de 1/(1-x*(cos(s))^2) ds sur l'intervalle [0, pi/2].

Ce que j'ai fait : j'ai fait un changement de variable en posant t=tan (s/2) et j'ai remplacé cos (s) par (1-t^2)/(1+t^2). Du coup, en simplifiant par (1+t^2), en mettant le dénominateur au même dénominateur et en inversant la fraction, je me retrouve avec (1+t^2)/ ((1-x)+(2+2x)t^2 + (1-x)t^4. J'avais pensé factoriser par 1/1+x pour pouvoir le sortir de l'intégrale et faire une décomposition en élément simple sur ce qu'il me reste. Sauf que le (2+2x) me gêne à cause de son signe... Du coup, je me retrouve bloqué... Avez vous une solution pour m'aider? Merci.

[Lostounet]

Salut,

Je ne sais pas si cette façon que j'ai faite de mener les calculs est la plus efficace ou la plus intelligente mais vu que je m'en suis rendu compte assez tard dans le calcul et que j'avais déjà tapé le Latex....
J'ai noté I l'intégrale à calculer. I_1 et I_2 sont deux intégrales intermédiaires, de sorte que



Par ailleurs:



Ainsi, selon les calculs, on obtient:
(attention c'est pas exactement l'intégrale).

Et clairement c'est pas une stratégie optimale (et j'ai pas envie de vérifier mon calcul). Je pense que faire les règles de Bioche en amont serait mieux.

[Ben314]

Salut,
Sur le principe, ton truc marche et on pourrait aller plus loin en cherchant la décomposition en élément simples de ta fraction rationnelle ce qui signifierais de factoriser le dénominateur : c'est jouable vu que c'est une équation "bicarrée", mais ça va être passablement long et chiant... (mais faisable...)

Ce qu'il faut voir, c'est que si c'est long et chiant, ça provient du cos(x) qui est au carré donc ton (1-t²)/(1+t²) est au carré et forcément ça fait tout de suite du degrè 4 et t. Donc un truc pas con (et on ne peut plus classique...), c'est de virer le carré (du cosinus) en utilisant la formule de trigo. dédiée, à savoir cos²(s)=(cos(2s)+1)/2 puis, maintenant que tu as du cos(2s) et pas du cos(s), ben ça veut dire que le changement de variable "standard", ça va être t=tan(2s/2)=tan(s) et pas t=tan(s/2) et forcément, ça va te faire du "plus petit degré" (en fait du degré 2)

[lightone]

Ben, le degré n'est pas un problème car en TD, on a appris à trouver la décomposition en élément simple de ce genre de fraction. C'est juste ce x qui me gêne Si je n'avais pas ce problème de signe, je pourrais le sortir de l'intégrale et finir mon intégration tranquillement.

[Ben314]

Bon, ben alors je comprend pas : moi ce qui m'aurait passablement fait c... c'est de chercher la factorisation du truc bicarré (surtout sachant qu'il y avait un moyen simple de n'avoir que du degré 2).
Mais par contre, si on me laisse pas employer la méthode simple et qu'on m'impose la compliquée, à savoir factoriser a.t^4+b.t^2+c, je vois franchement pas en quoi le signe de b=2+2x a une quelconque importance là dedans... (si discutions il y a, ben ça va évidement être en fonction du signe de b²-4ac...)

Ou alors le 2+2x dont tu parle, c'est pas le coeff. devant le t² ?

P.S. Et sinon, juste pour le fun, vu qu'on t'a "appris en T.D." à le faire, tu peut me donner la décomposition en éléments simples de ?

[Lostounet]

Ben, le degré n'est pas un problème car en TD, on a appris à trouver la décomposition en élément simple de ce genre de fraction. C'est juste ce x qui me gêne Si je n'avais pas ce problème de signe, je pourrais le sortir de l'intégrale et finir mon intégration tranquillement.

Ben que penses-tu de mon calcul ? "à vue de nez"

[Ben314]

Sur le principe, c'est une bonne idée et ça repose sur le même principe que ce que j'ai proposé ensuite : comment virer le carré du cosinus pour n'avoir que du degré 2 et pas du degré 4 ?
Et effectivement, une façon d'y arriver, c'est d'écrire 1-x.cos²(t)=(1-racine(x).cos(t))(1+racine(x).cos(t)) puis de faire une décomposition en élément simple pour scinder ta fraction rationnelle en deux (c'est bien une décomposition en élément simple avec des polynômes et pas autre chose : il suffit de poser T=cos(t) et de regarder x comme une constante pour s'en convaincre)
Après, concernant les calculs que tu fait, j'ai pas regardé : la technique pour intégrer du (at+b)/(ct²+dt+e) est archi connue et je pense (ou plutôt j'espère...) que tu l'a appliquée sans problème.

[lightone]

Mon problème n'est pas le carré en trop, c'est le fait que je sois bloquer dans mes calculs et que je n'arrive pas à m'en sortir.

[Pseuda]

Bonsoir,

Je n'ai pas vérifié ton calcul mais c'est plutôt 1/(1-x) que tu veux sortir de l'intégrale ? Et le 2+2x te gêne.

[Ben314]

C'est quoi cette histoire de "carré en trop" ?
Et surtout, c'est où que tu est "bloqué" dans les calculs ?
(si c'est juste le fait qu'avec cette méthode là, c'est long et chiant, il me semble qu'on te l'avais dit...)

[lightone]

Pseuda, oui c'est celui là le problème que j'ai

[Pseuda]

Si ton calcul est juste et que tu as à la fois du 1+x et du 1-x au dénominateur, je ne vois aucun moyen de le sortir du dénominateur. Ce serait d'ailleurs étonnant de pouvoir le faire, parce que cela voudrait dire qu'on aurait pu factoriser par une expression contenant du x bien en amont.

[lightone]

Oui... J'ai une autre solution. Ca serait de faire un changement de variable en posant t=tan(s) mais dans ce cas, la formule de Biot du cosinus ressemblerait à quoi?

[Ben314]

Personnellement, ce que je comprend toujours pas (et ça fait 3 fois que je pose la question...), c'est en quoi le (2+x) est-il gênant ?
Pour rien te cacher, j'en viens à me demander si tu as bien compris ce qu'on te demandais de calculer : c'est une intégrale par rapport à la variable t donc dans l'histoire, ben tu considère que c'est une constante et c'est tout.
Si tu préfère, je peut te formuler ça comme je le ferais avec un collégien, c'est à dire que cette intégrale, si tu sait la calculer lorsque par exemple x=1/3, ben alors tu sait la calculer dans tout les cas (*) : il te suffit de remplacer ton 1/3 par x du début à la fin du calcul... (et ça explique pourquoi je comprend absolument pas en quoi le 2+2x=2+2/3 pose un quelconque problème)

(*) Modulo que x=1/3 ne soit pas un cas trop particulier.

[lightone]

Ben, lit le message de Pseuda, Il a compris ce qui me posait problème. Et oui, j'ai très bien compris que je devais intégrer en fonction de t et que le x est juste un simple coefficient. Là je fais autrement, j'ai posé comme changement de variable t= tan(s) et du coup à un moment, j'ai pu avoir comme intégrande 1/((racine(1-x))^2+t^2). Cela me permet de primitiver grace à l'arctangente. Par contre, je dois trouver ce que vaut la limite de artan((tan(A))/(racine(1-x)) lorsque A tend vers pi/2 moins.

[Ben314]

Ben, désolé, je suis sans doute complètement bouché, mais je comprend absolument pas ce que pseuda est sensé avoir compris...
Ce que dit pseuda c'est qu'on peut pas sortir le 1+x et le 1-x du dénominateur, mais je comprend toujours pas en quoi "ça pose problème".
Si on me demande de calculer , ben le 1 je ne peut effectivement pas le "sortir de l'intégrale", mais je vois pas bien en quoi ça pose problème... (y'a quand même un paquet de trucs qu'on ne peut pas "sortir d'une l'intégrale" en général, non ?)

Bon, normalement, avec ton dénominateur , ce que le cours te dit, c'est qu'il faut le factoriser pour ensuite décomposer ta fraction rationnelle en éléments simple et la factorisation ben c'est on ne peut plus "concon" (c'est du bête aT²+bT+c=a(T-t1)(T-t2) avec Delta=b²-4ac pour calculer t1 et t2) :


Maintenant que je t'ai donné la solution, tu peut m'expliquer pourquoi le 2x+2 te posait problème ? (ça m'intrigue cette histoire là...)

[Ben314]

Par contre, je dois trouver ce que vaut la limite de artan((tan(A))/(racine(1-x)) lorsque A tend vers pi/2 moins.

Ben... y'a pas la moindre indétermination...
Si A tend vers Pi/2 par valeur inférieure alors tan(A) tend vers +oo et, vu que racine(1-x) est une constante >0, ben tan(A)/racine(1-x) tend aussi vers +oo donc l'arctangente du bidule tend vers pi/2.

[Pseuda]

Bonjour,

@Ben314

On peut toujours tout factoriser par ce qu'on veut, par exemple : 1-x = 5 * (1/5 - x/5).

Ce que voulait faire lightone (enfin ce que j'ai compris), c'était factoriser par une expression contenant du x, de façon à ne plus en avoir dans l'expression factorisée. C'est loin d'être le cas dans ta factorisation ...

[Ben314]

Ben justement, c'est ce que je pensais aussi (c.f. post du 07/10 à 21:35) sauf qu'au vu de cette réponse :

Et oui, j'ai très bien compris que je devais intégrer en fonction de t et que le x est juste un simple coefficient.

tu as pas l'impression qu'il dit justement que c'est pas ça qui lui "pose problème" ?

[Pseuda]

Bon, lightone a compris qu'avec cette méthode, il ne pouvait pas faire ce qu'il voulait (sortir le x du dénominateur, même s'il aurait pu continuer autrement), c'est l'essentiel.