Intégrale

[fibonacci]

Bonjour;

on doit avoir



valeur que je voudrais retrouver



cette dernière intégrale diverge...

[chan79]

Salut
il manque une racine

[fibonacci]

merci

j'ai fais ça

[Black Jack]

merci

j'ai fais ça

Il ne manque pas de racine.

... Mais tu n'es pas tombé sur une contriduction.

Certes la dernière intégrale diverge mais [-cos(x).ln(sin(x))](de0 à Pi/2) est aussi -oo

Donc tu es arrivé à -oo +oo ... qui n'est pas forcément différent de ln(2) - 1

Il faudra voir comment s'en tirer.

:zen:

[Black Jack]

Faut pas utiliser les bornes d'intégration avant la fin.

En continuant à partir de S x²/(1-x²) dx ..., on arrive à :

S cos²(x)/sin(x) dx = cos(x) + ln(tg(x/2))

On a donc : I = [-cos(x).ln(sin(x)) + cos(x) + ln(tg(x/2))] (de 0 à Pi/2)

I = [cos(x).(1 - ln|sin(x)|) + ln|tg(x/2)|](de 0 à Pi/2)


en Pi/2 : 0.(1 - 0) + ln|1| = 0

en 0 : 1 - ln|sin(x)| + ln|tg(x/2)| = 1 + ln(tan(x/2)/sin(x)) = 1 + ln(tan(x/2)/(2.sin(x/2).cos(x/2)) = 1 + ln(1/2.cos²(x/2)) = 1 - ln(2)

--> I = ln(2) - 1

:zen:

[fibonacci]

Merci,

mais on doit pouvoir le calcul à partir du changement de variable.

[Black Jack]

Merci,

mais on doit pouvoir le calcul à partir du changement de variable.

Ben oui, mais oublie les bornes d'intégration jusque la presque fin.

S sin(x).ln(sin(x)) dx

Poser
u = ln(sin(x) ; dv = sin(x) dx
du = cos(x)/sin(x) dx ; v = -cos(x) dx

S sin(x).ln(sin(x)) dx = -cos(x).ln(sin(x) + S cos²(x)/sin(x) dx (1)
*****
S cos²(x)/sin(x) dx
Poser cos(x) = X ---> S cos²(x)/sin(x) dx = - S X²/(1-X²) dX

X²/(1-X²) = A/(1-X) + B/(1+X)
...

S X²/(1-X²) dX = -X - (1/2).ln|(X-1)/(X+1)|

S cos²(x)/sin(x) dx = cos(x) + (1/2).ln|(cos(x)-1)/(cos(x)+1)|
S cos²(x)/sin(x) dx = cos(x) + (1/2).ln|tg²(x/2)|
S cos²(x)/sin(x) dx = cos(x) + ln|tg(x/2)| (2)
*****
(2) dans (1) :

S sin(x).ln(sin(x)) dx = -cos(x).ln(sin(x) + cos(x) + ln|tg(x/2)|

S sin(x).ln(sin(x)) dx = cos(x).(1 - ln|sin(x)|) + ln|tg(x/2)|

I = S(de 0 à Pi/2) sin(x).ln(sin(x)) dx = [cos(x).(1 - ln|sin(x)|) + ln|tg(x/2)|](de 0 à Pi/2)

en Pi/2 : 0.(1 - 0) + ln|1| = 0

en 0 : 1 - ln|sin(x)| + ln|tg(x/2)| = 1 + ln(tan(x/2)/sin(x)) = 1 + ln(tan(x/2)/(2.sin(x/2).cos(x/2)) = 1 + ln(1/2.cos²(x/2)) = 1 - ln(2)

--> I = ln(2) - 1
*****
:zen:

[Ben314]

Sinon, ça marche aussi direct, MAIS, il faut se souvenir que des primitives, une fonction elle en a plusieurs.
En particulier, au départ, ton dv=sin(x), il eu été plus malin d'en déduire v=1-cos(x) plutôt que v=-cos(x).
Ca t'aurait évité d'écrire ton intégrale convergente comme la somme de deux trucs, à savoir et qui sont... tout les deux divergeant.

L'autre solution (peut-être plus simple ?) est effectivement celle de black-jack consistant à prendre comme borne de départ epsilon>0 puis à la fin du calcul (c'est à dire une fois qu'on a réussi à recombiner les parties divergentes de tes deux morceaux) à faire tendre epsilon vers 0.

[Ben314]

En reprenant ton post de départ, ça me donne :


là le terme "tout intégré" n'est pas divergeant et il vaut 0.

[fibonacci]

Merci à tous les deux. :zen: