Intégrale

[ThekamikazeFou]

bonjour, pour trouver l'intégrale de suis-je obligé de faire une changement de variable?
merci !

le résultat de l'intégrale est -Arctan(cosx)

[Manny06]

bonjour, pour trouver l'intégrale de suis-je obligé de faire une changement de variable?
merci !

le résultat de l'intégrale est -Arctan(cosx)

es-tu sur du résultat
car f(x) =sinx/sin²x=sinx/(1-co²x) de la forme -u'/(1-u²)
on peux aussi poser t=tan(x/2) on trouve ln(tan(x/2))

[ThekamikazeFou]

Alors mon intégrale de base est
je dois utiliser deux méthodes.
en premier j'ai utilisé la méthode de bioche et j'ai posé t=cos(x)
j'avais donc
j'ai donc

j'avais oublié le 2 désolé !
maintenant je cherche une méthodé et c'est pour cela que j'en suis a
-1/sin(x) ...

[Manny06]

Alors mon intégrale de base est
je dois utiliser deux méthodes.
en premier j'ai utilisé la méthode de bioche et j'ai posé t=cos(x)
j'avais donc
j'ai donc

j'avais oublié le 2 désolé !
maintenant je cherche une méthodé et c'est pour cela que j'en suis a
-1/sin(x) ...

la dérivée de arc(tant) est 1/(1+t²)
ton intégrale de départ est-elle sinx/(1+cos²x) ?ce qui se ramenera à -u'/(1+u²)
ou bien 1/sinx soit sinx /sin²x soit sinx/(1-cos²x) ? ce qui se ramène ra à -u'/(1-u²)

[ThekamikazeFou]

en effet... la solution est donc -Argth(t)
toutes ces formules se confondent...

bref auriez vous une autre méthode? c'est à dire résoudre 1/sinx ?

mon intégrale de départ est bien sinx/(1+cos²x)

[Manny06]

en effet... la solution est donc -Argth(t)
toutes ces formules se confondent...

bref auriez vous une autre méthode? c'est à dire résoudre 1/sinx ?

mon intégrale de départ est bien sinx/(1+cos²x)

dans ce cas elle n'est pas égale à 1/sinx
pour intégrer 1/sinx on pose t= tan(x/2)

[ThekamikazeFou]

en effet j'ai fais une bête erreur...

-1+cos²(x) = -sin²(x) et non 1+cos²(x)
ok je ne comprenais pas pourquoi vous disiez u'/1+u²
donc l'intégrale est - INT [u'/(1+u²)] et donc - Arctan x

mais c'est bizarre, je ne trouve pas la même solution de deux maniere différente, je vais chercher, merci !

[Manny06]

en effet j'ai fais une bête erreur...

-1+cos²(x) = -sin²(x) et non 1+cos²(x)
ok je ne comprenais pas pourquoi vous disiez u'/1+u²
donc l'intégrale est - INT [u'/(1+u²)] et donc - Arctan x

mais c'est bizarre, je ne trouve pas la même solution de deux maniere différente, je vais chercher, merci !

tu ne trouves pas la même solution parce que tu intègres deux fonctions différentes
peux tu donne réellement ton énoncé de départ ?

[ThekamikazeFou]

j'ai résolu le problème.. une simple erreur de signe !
dans un premier temp je trouvais -2argth(t) et dans un second temps -Arctan(cosx)

mais je pense avoir résolu le problème !


la solution finale est -Arctan(cos(x)) !

merci :)

[Black Jack]

j'ai résolu le problème.. une simple erreur de signe !
dans un premier temp je trouvais -2argth(t) et dans un second temps -Arctan(cosx)

mais je pense avoir résolu le problème !


la solution finale est -Arctan(cos(x)) !

merci

Je n'en mettrais pas ta tête à couper.

1/sin(x) = sin(x)/sin²(x) = sin(x)/(1-cos²(x)) = sin(x)/[(1-cos(x)).(1+cos(x))] = (1/2).sin(x)/(1-cos(x)) + (1/2).sin(x)/(1+cos(x))

S (1/sin(x)) dx = (1/2).S sin(x)/(1-cos(x)) dx + (1/2).S sin(x)/(1+cos(x)) dx

S (1/sin(x)) dx = (1/2).ln|1-cos(x)| - (1/2).ln|1+cos(x)|

S (1/sin(x)) dx = (1/2).ln|(1-cos(x))/(1+cos(x))| = ln(|(1-cos(x))/(1+cos(x))|^(1/2)) = ln|tg(x/2)|

:zen:

[Anonyme]

@Black Jack

Moi je dis OK et en plus tu n'as pas oublié le | | dans le ln !



ps)
sauf que tu aurais pu écrire que d(1-cos(x))=sinx

[Manny06]

Je n'en mettrais pas ta tête à couper.

1/sin(x) = sin(x)/sin²(x) = sin(x)/(1-cos²(x)) = sin(x)/[(1-cos(x)).(1+cos(x))] = (1/2).sin(x)/(1-cos(x)) + (1/2).sin(x)/(1+cos(x))

S (1/sin(x)) dx = (1/2).S sin(x)/(1-cos(x)) dx + (1/2).S sin(x)/(1+cos(x)) dx

S (1/sin(x)) dx = (1/2).ln|1-cos(x)| - (1/2).ln|1+cos(x)|

S (1/sin(x)) dx = (1/2).ln|(1-cos(x))/(1+cos(x))| = ln(|(1-cos(x))/(1+cos(x))|^(1/2)) = ln|tg(x/2)|

:zen:

réponse déjà donnée mais comme l'élève change de fonction à chaque fois on ne sait plus quelle est vraiment la question

[Black Jack]

réponse déjà donnée mais comme l'élève change de fonction à chaque fois on ne sait plus quelle est vraiment la question

Le changement de question à presque chaque intervention est, malheureusement, assez habituel.

La réponse pour avait été "presque" donnée, mais il manquait quand même les valeurs absolues.

:zen:

[ThekamikazeFou]

Merci mais je l'ai dis deux fois... La fonction est :
sinx/(1+cos²x)

Son integrale est -Arctan(cos(x))

En realité j'etais arrivé a 1/sin(x) parcque j'avais fais 1+cos(x)^2=-sin(x)^2 mais je me suis finalement rendu compte que l'equation etait fausse, j'avais oublié le signe negatif devant me 1...

Il n'y a pas eut de changement de question, juste une incomprehension. Je vous ai demandé l'intégrale de 1/sinx pensant qu'elle etait egale a sinx/(1+cos(x)^2)

[Black Jack]

Merci mais je l'ai dis deux fois... La fonction est :
sinx/(1+cos²x)

Son integrale est -Arctan(cos(x))

En realité j'etais arrivé a 1/sin(x) parcque j'avais fais 1+cos(x)^2=-sin(x)^2 mais je me suis finalement rendu compte que l'equation etait fausse, j'avais oublié le signe negatif devant me 1...

Il n'y a pas eut de changement de question, juste une incomprehension. Je vous ai demandé l'intégrale de 1/sinx pensant qu'elle etait egale a sinx/(1+cos(x)^2)

Oui, tu l'as dit 2 fois, mais tu as aussi parlé plus de 2 fois de 1/sin(x)
... Et même parfois des 2 dans une même intervention.

Pour S sinx/(1+cos²x) dx

poser cos(x) = t
--> sin(x) dx = -dt

S sinx/(1+cos²x) dx = - S dt/(1+t²) = - arctan(t) = - arctan(cos(x))

F(x) = - arctan(cos(x)) est UNE primitive de f(x) = sinx/(1+cos²x)
************
Alternative :

Poser cos(x) = tan(t)

- sin(x) dx = 1/cos²(t) dt

S sinx/(1+cos²x) dx = - S 1/(1+tg²(t)) * 1/cos²(t) dt = - S cos²(t) * 1/cos²(t) dt = - S dt = - t = - arctan(cos(x))



:zen:

[ThekamikazeFou]

Ok on est d'acoord j'ai exactement la même chose! :)

Merci!