Intégrale

[zork]

bonsoir

montrer avec la formule de taylor avec reste intégrale que pour tout x dans R+
x-(x²/2)<=ln(1+x)<=x-(x²/2)+(x^3/3)

j'ai écris la formule puis j'ai essayé de majoré le reste noté R(x)
j'ai R(x)<=x^(n+1) mais ca donne rien

merci

[Skullkid]

Bonsoir, il faut commencer par savoir comment tu vas appliquer Taylor. Tu parles d'un n dans ta réponse, mais on sait pas qui c'est. À quelle fonction vas-tu appliquer Taylor ? Autour de quel point ? À quel ordre ?

[zork]

j'applique taylor à la fonction ln(1+x) au voisinage de 0

[Skullkid]

Ok, à quel ordre ? Que te dit alors la formule ?

[zork]

en faites j'applique la formule générale à l'ordre n

[Skullkid]

Il n'y a pas de n dans ton énoncé, donc a priori pas de raison d'en introduire un : il faut que tu choisisses un ordre précis. À ton avis, quel ordre va marcher pour montrer ton inégalité ?

[zork]

l'ordre 4?

[Skullkid]

Non. La formule à l'ordre n te dira que ln(1+x) = un polynôme de degré n + une intégrale. L'idée ça va être d'encadrer l'intégrale, ce qui te fournira un encadrement de ln(1+x) - le polynôme. Donc, en regardant l'inégalité que tu veux montrer, quel est le "bon" n ?

[zork]

donc je vais majorer l'intégrale pour qu'elle tende vers 0

[Skullkid]

Pourquoi tu veux la faire tendre vers 0 ? Ici personne ne tend vers personne, tu veux montrer une inégalité. Pour ce faire, tu vas encadrer une intégrale, mais cette intégrale elle vaut ce qu'elle vaut, tu n'as pas à la faire tendre vers quelque chose.

[zork]

pourrait tu me montrer comment faire?

[Skullkid]

Ce que tu dois montrer c'est 0 <= ln(1+x) - (x - x²/2) <= x^3/3 pour x positif. Or x - x²/2 c'est justement le début du développement limité de ln(1+x) en 0, autrement dit, c'est le polynôme dont je parlais dans mon précédent post. Il est de degré 2, donc ça incite à utiliser Taylor à l'ordre 2.

Que donne Taylor-intégral à l'ordre 2 en 0, appliqué à ln(1+x) ?