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Mathusalem
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par Mathusalem » 31 Jan 2012, 18:39
Bonjour,
Je dois évaluer l'intégrale suivante
}{qr}r^2e^{-r^2/2r_0^2} dr)
J'ai épuisé toutes mes astuces et même wolfram refuse de m'aider.
1. Passé en notations complexes puis en complétant le carré, ça me donne rien.
2. Toutes les intégrations par partie ne me mènent à rien (je tourne en rond).
3. J'ai essayé de récrire le terme en r^2e^(-r^2...) comme
Mais ça ne m'aide pas non plus.
Avez-vous une piste ?
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Skullkid
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par Skullkid » 31 Jan 2012, 19:17
Salut, avec une IPP on peut se ramener à
e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}}dr)
, qu'on peut voir comme la partie réelle de
^2}dr)
(le tout sauf erreur).
En rentrant cette dernière intégrale dans Wolfram, il me donne un résultat qui fait intervenir erfi, mais si je prends que la partie réelle, ça donne
pour ton intégrale de départ. Je sais pas exactement comment il calcule l'intégrale mais j'imagine qu'il y a une astuce pour se ramener à une intégrale curviligne sur une demi-droite verticale...
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Mathusalem
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par Mathusalem » 31 Jan 2012, 19:22
Skullkid a écrit:Salut, avec une IPP on peut se ramener à
, qu'on peut voir comme la partie réelle de
(le tout sauf erreur).
En rentrant cette dernière intégrale dans Wolfram, il me donne un résultat qui fait intervenir erfi, mais si je prends que la partie réelle, ça donne
pour ton intégrale de départ. Je sais pas exactement comment il calcule l'intégrale mais j'imagine qu'il y a une astuce pour se ramener à une intégrale curviligne sur une demi-droite verticale...
Ouais j'en étais arrivé là, mais j'étais resté un peu perplexe devant erfi...Le truc que je me suis pas rendu compte c'est que j'ai artificiellement ajouté du complexe et à la fin ça me chiffonait d'avoir encore des complexes. Je vais tenter de le refaire au propre.
Merci bien
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Mathusalem
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par Mathusalem » 31 Jan 2012, 20:49
Je crois que l'astuce c'est ça. Pour simplifier on pose
et
^2}dr = \lim \limits_{N \to \infty} \quad \alpha \int \limits_{-iqr_0}^{N-iqr_0} e^{\frac{1}{2}y^2}dy = \lim \limits_{N \to \infty} \quad \sqrt{2} \frac{\sqrt{\pi}}{2} \alpha \left[ \text{Erf}(N - iqr_0) - \text{Erf}(-iqr_0) \right] := I)
 = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\alpha (1 - 0))
Il me faut juste aller chercher la définition de Erf sur les complexes pour justifier que la partie réelle de Erf tend bien vers un quand le réel de son argument tend vers l'infini.
Confirmation ?
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