Intégrale

[pizzouille]

Bonjour,

Pour 0Puis après on me demande de montrer que l'intégrale généralisé de l'intervalle [0,1] ln(1-x²)/x² converge, puis de la calculer.

Comment dois-je faire.
Merci d'avance de votre aide

[Ben314]

Salut,
Tout d'abord, tes notations ne vont pas (au départ j'ai rien compris) : tu ne peut pas intégrer de 0 à x une fonction dont la variable s'appelle x !!!!!!!!!
Je suppose que tu intègre de 0 à x la fonction f(t)=ln(1-t²)/t².

Pour la première question, l'existence de l'intégrale vient du fait que f peut se prolonger par continuité en 0 [la limite en 0 vaut -1] donc on intégre une fonction sur un intervalle fermé borné sur laquelle elle est continue (une fois prolongée).
Pour calculer l'intégrale, comme assez souvent lorsqu'il y a des log, un fait une intégration par parties pour dériver le log et donc le faire disparaitre.

Pour la deuxième question, par définition d'une intégrale généralisée, il suffit de regarder ce que donne le résultat de la première question lorsque x tend vers 1

[pizzouille]

ln(1-0) = 0, donc la limite de ln(1-u)/u en 0 est la même que la limite de (ln(1-u)-ln(1-0))/(u-0) en 0, qui est par définition la valeur de la dérivée de ln(1-u) en 0.

f'(0)=-1

mais pourquoi je peux dire qu'elle est bien définie?

[pizzouille]

mais pourquoi je peux dire qu'elle est bien définie?

[Mathusalem]

mais pourquoi je peux dire qu'elle est bien définie?

Vu que x est borné à être inférieur à 1, tu n'auras jamais de singularité telle que f(1) = log(0)...
Elle est bien définie car elle est prolongeable par continuité en 0 ainsi que par le fait qu'elle n'a pas de singularités sur l'intervalle [0, x], mais Ben me corrigera sur la pertinence de l'argument.

Pour la question de notation, il me semble pas que l'on soit obligé d'intégrer une variable muette, j'ai vu plein de notations ou on integrait de 0 à x une fonction dont la variable etait x. Ici, c'est ta sensibilité de mathématicien formel qui prend le dessus j'imagine :p

[Ben314]

Concernant "l'argument", c'est exactement ça.
Peut être que le point que pizzouille ne voit pas est le fait que, que ce soit dans la théorie de Riemann ou celle de Lebesgue, le fait qu'une fonction soit intégrable ou pas [ainsi que la valeur de l'intégrale] rese inchangé lorsque l'on modifie la fonction en un nombre fini de points.
Ici, cela explique que pour voir que f est intégrable, on peut parfaitement la remplacer par la fonction prolongée au point 1.

Pour l'hisoire des notations avec la même variable à l'intérieur, ça me gène évidement d'un point de vue formel, mais aussi de façon plus "concrète" : je ne connais aucun langage de programation acceptant un instruction du type "pour n variant de 1 à n" et, par exemple lorsque l'on fait des comparaisons intégrales/séries, on écrit souvent l'intégrale de n à n+1 de f(n)dt et il faut absolument comprendre que la variable d'intégration n'est pas n.

Si je veut continuer dans la série des notations que je n'aime pas du tout et qu'on trouve trés souvent, c'est celle consistant à ecrire comme primitive de la fonction x->f(x) un symbole intégrale sans bornes suivi de f(x)dx.
Perso, j'impose à mes étudiants de mettre des bornes : xo et x et de mettre f(t)dt dans l'intégrande : Ca permet d'écrire moins de conneries lorsque l'on fait des I.P.P. ou des changement de variables, mais surtout, dans le cas où f est définie sur une partie de R qui n'est pas un intervalle, de bien comprendre que, en fonction de l'endroit où l'on a pris le xo, on obtient uniquement une primitive de f sur un intervalle du domaine de définition et pas sur le domaine tout entier (je pense en particulier à la recherche de primitives de 1/x sur R* où j'ai constaté qu'un grand nombre de ceux qui utilise la notation que je n'aime pas sont totalement démunis la première fois qu'on leur demande une primitive de 1/x sur ]-oo,0[.

[alavacommejetepousse]

bonsoir on peut toujours écrire n'importe quoi mais en effet la variable d'intégration est muette alors que la borne est parlante les 2ne sauraient être notées par la même lettre.

pour l'intégrale sans borne tout à fait d'accord avec ben notation très problématique pour les débutants mais qui existe hélas moi ce qui me gène ce n'est pas la constante qui dépend de l'intervalle choisi ( suffit de l 'expliquer) mais plutôt l'intégration d'inégalités, sans bornes...

[xyz1975]

1/ Intégrale sans bornes veut dire TOUTES les primitives (dans un sens).

2/ Si on exige de mettre x0 et x comme bornes pour calculer une intégrale cela veut dire qu'on cherche LA primitive qui s'annule pour xo.

3/ La recherche des primitives se fait sur des intervalles.