Intégrale, suite de fonction

[Narhm]

Bonjour à tous,
J'ai un probleme sur une question d'analyse.

Je dois étudier la limite de In quand n tend vers +.
Sur l'intervale [0;1[, ca ne pose de probleme, l'intégrale sera nulle mais j'ai un probleme sur l'intervale de .

Si quelqu'un peu m'aiguiller, c'est avec plaisir !
Merci de votre aide.

[Nightmare]

Salut :happy3:

En fait on a même un équivalent.

On pose , alors

Soient T,h deux réels positifs et n un entier supérieur à 2. Par partie on a :




On impose que T soit supérieur à 1, alors :


D'où :


Ainsi :

(Ceci montre que est uniformément convergente)

De plus, pour tout n supérieur à 2, on a :
où A > 0

Soit . Il existe donc un A strictement positif tel que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 et tel que , soit on ait :


, on a , et donc tel que pour tout n supérieur à 2 :
.

Par conséquent :


Fixons .
Comme est continue sur on a :

Ainsi : :
.

Et finalement on a

:happy3: