Intégrale de sin^2(x)/x

[Crapo]

Bonjour à tous,

Je cherche à démontrer que l’intégrale sur 1;+inf de sin^2(x)/x converge.
J’ai bien compris la convergence de sin(x)/x avec une intégration par parties mais je n’arrive pas à trouver comment faire avec sin^2(x)/x.

Votre aide est la bienvenue, merci !

[L.A.]

Bonjour,

par simple majoration, comme |sin(x)|<=1, on a |sin²(x)/x| <=|sin(x)/x|.

[Crapo]

Bonjour et merci pour cette réponse !
Mais l’intégrale de abs (sin (x)/x) converge ?

[GaBuZoMeu]

L.A., ton argument ne tient pas : n'est pas intégrable.

Je suggère de minorer l'intégrale de entre et , pour commencer.

[Crapo]

Merci

Je suis embêté car sin^2 (x) / x = (1- cos 2x) / 2x
Or l’intégrale de 1/2x diverge...

[GaBuZoMeu]

Pourquoi n'utilises-tu pas ma suggestion ?

[L.A.]

L.A., ton argument ne tient pas : n'est pas intégrable.

C'est juste, désolé

[Crapo]

GaBuZoMeu : je peux minorer par 1/2(k+1), or la somme de 1/k tend vers +inf
Donc mon intégrale ne converge pas
Est-ce la bonne conclusion ?

[GaBuZoMeu]

Oui.

[Crapo]

Un grand merci !
Et donc une erreur d’énoncé...

[GaBuZoMeu]

L'énoncé te demandait de démontrer que cette intégrale converge ? Vraiment ?

[Crapo]

Oui...

[GaBuZoMeu]

[tournesol]

Minorer (sin x)^2 n'est pas immédiat car il faut d'abord minorer |sin x| par une fonction affine puis élever au carré avant d'intégrer . Un simple IPP montre que est égal à .

[GaBuZoMeu]

Qui te parle de minorer , tournesol ?
Crapo a bien vu qu'on pouvait minorer par .

[tournesol]

ONTEUSÉCONFU...