Integrale f(x) = sin^5 x

[julienfrom26]

Bonjour

f(x) = sin^5 x
1. A l'aide des formules d'Euler, lin¶eariser f(x), c'est-à-dire exprimer f(x) en fonction de sin px
2. Utiliser ce r¶esultat pour calculer calculer l'inegrale de F(x) entre 0 et pi/3
3. On considµere le changement de variable u = cos x: Calculer I à l'aide de ce changement de
variable.

1)je vais pas mettre tout le développement sauf si vous avez besoin pour me corriger si j'ai faut

sin^5 x=[(e^(ix)-e^(-ix)]^5/(2i)^5
=1/16(sin(5x)-5sin(3x)+10sinx)

2) I=integ de 0 à pi/3 de [1/16(sin(5x)-5sin(3x)+10sinx)dx]
I=1/16[-1/5cos(5pi/3)+5/3cos(pi)-10cos(pi/3)+1/5-5/3+10
I= 53/480
3) je bloque

doit t'on repartir du sin^5x ou de la reponse trouvé à la question 1
et pour le changement de variable est ce bon de dire que x= arcos U car pour trouver dx je ne vois pas
pour les nouvelles bornes pour x=0 ==> u=pi/2
x=pi/3==>u=1/2

[Ben314]

Salut,
Oui, le principe est de calculer I par une méthode totalement différente donc on repart au début.
Si tu pose u=cos(x) alors, sur le sin^5(x), il faut en garder un sin(x) pour "faire" le du=-sin(x)dx
il te reste donc sin^4(x) à écrire en fonction de cos(x)...

[julienfrom26]

merci je vous met ce que j'ai trouvé pour le moment

j'ai linéariser sin^4x ce qui donne 1/8[cos(4x)-4cos(2x)+3]

u=cos(x) donc x=arcos(x)
du=-sinx


alors
I=integ de sin^5 x entre 0 et pi/3
I=integ de sin^4x sin(x) entre 0 et pi/3

les nouvelles bornes sont pour 0 on a 1
pour pi/3 on a 1
donc la nouvelle integrale est:

I=integ(1/8cos(4arcosU)-4cos(2arcosU)+3)x-1dU,entre 1 et 1/2

[Ben314]

Non, ce n'est pas cela qui est attendu : tu est en train de refaire la même méthode...

Ici, il faut seulement écrire que sin^4(x)=(sin²(x))²=(1-cos²(x))²
donc int(sin^5(x)dx) = - int( (1-cos²(x))².(-sin(x)dx) ) = - int((1-u²)²du)
je te laisse chercher les bornes...

[julienfrom26]

Merci de votre aide je vous met ce que j'ai trouvé en esperant que cette fois je ne me suis pas trompé :lol3:


I=integ(sin^5x)dx,0,pi/3
=integ(sin^4x)(sin x)dx,0,pi/3

sin^4x=(1-cos²x)²
u=cos x
du=-sin x
-du=sin x
les bornes pour x=0 ==>> u=1
x=pi/3 ==>> u=1/2
I=integ(1-cos²x)²(sin x)dx,0,pi/3
I=integ(1-u²)²x(-1)du,1,1/2
I=(-1)integ(1-u²)²du,1,1/2
I=integ(1-u²)²du,1/2,1

(1-u²)²=1-2u²+u^4

I=integ(1-2u²+u^4)du,1/2,1
I=[u-2/3.u^3+1/5.u^5],1/2,1
I=[1-2/3+1/5]-[1/2-2/3(1/2)^3+1/5(1/2)^5]
I=53/480
I (environ) = 0,1104

[Ben314]

Ca a l'air parfait, surtout que vu que tu trouve la même chose qu'au 2... :lol3:

[julienfrom26]

oui c'est exactement ce que je me suis dis encore merci à toi, si je tombe sur ca lundi je serai le faire :p