Intégrale a paramètre réel

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voici un exercice sur lequel je bloque :

On pose f(r)= ∫ (de 0 à Pi) de ln( 1-2r cos(t) + r² ) dt
1) Vérifier que f est définie pour r appartenant à D=R\{-1,1}
2)Montrer que f est continue sur ]-1,1[
3)Montrer que f(r)=f(-r) pour r appartenant D
4)Trouver f(r²) en fonction de f(r) ainsi que f(1/r) en fonction de f(r)
5) Déduire des relations que f(r)=0 si r ∈ ]-1,1[ et f(r) = 2.Pi. ln(|r|) si |r|>1
6)Montrer que f est de classe C1 sur D et donner une expression intégrale de f'(r)
7)En déduire la valeur de ∫ (de 0 à Pi) de 1/(1-2r cos(t) + r²) dt, en utilisant r².f'(r)-f'(1/r)

J'ai fait les questions de 1,2,3,4
Je trouve f(r²) = 2 f(r)
et f(1/r) = f(r) + ∫ (de 0 à Pi) ln(1/r²) dt
Pouvez vous m'aider pour la 5

Merci d'avance

[zygomatique]

salut

pourquoi ne finis-tu pas le calcul de f(1/r) en calculant l'intégrale ?

[samoufar]

Salut,

Dans ton intégrale de la question 4, .

Pour la question 5, j'aurais dit que pour , par continuité de en , et (par récurrence) donc par passage à la limite.
Pour le lien entre et te permettra de conclure puisque d'après ce qui précède.

Je te confie la suite

Au passage, si tu fais de la physique tu pourras remarquer que tu obtiens à peu près l'équation du potentiel électrique pour un cylindre chargé en surface (pas évident à voir) : il est constant à l'intérieur du cylindre (ici il vaut mais bon il est défini à une constante près) et logarithmique à l'extérieur (ce qui se traduit par un champ électrique variant en ).