Intégrale à paramètre réel

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voici un exercice qui me pose problème :

1) Montrer que f définit sur R*+ par f(x)= est de classe C1 sur [a,+00[ pour tout a >0.
2)Déterminer une équation différentielle vérifiée par f

J'ai fais la question 1) juste pour vérification :
Juste la dérivée de par rapport à t est bien :
Donc pour l'hypothèse de domination, ?


Pouvez vous m'aider pour la 2) il faut que je trouve une relation entre f(x) et f'(x) ?
avec f'(x)= mais je ne sais pas quoi faire du "-t" dans l'intégrale

[zygomatique]

salut

dérivée par rapport à t ... ou à x ? (et la dérivée me semble fausse)

t est la variable d'intégration

x est la variable ...

quand à la domination : dominer quelque chose de négatif par quelque chose de positif n'est pas suffisant

[Maths-ForumR]

Je dois dériver par rapport à x, oui j'ai modifié ma dérivée est elle correcte maintenant ?

Comment faire pour la domination alors ?

[samoufar]

Bonjour,

D'abord, pour ne pas t'encombrer, notes ton intégrale et , c'est plus pratique (comme ça on sait qui dépend de quoi).

Ta dérivée est correcte. En revanche pour la domination, tu dois dominer . Mais bon tu as déjà trouvé ce par quoi il faut dominer (le " " , à prendre en valeur absolue). Il reste à vérifier qu'on a là une fonction intégrable sur .

[Maths-ForumR]

Merci
Mais peut -on majorer par -e^(at) ? car c'est au signe prés une intégrale de référence ?

Et pour la question 2 je trouve la relation f'(x) + f(x) = 0 cela semble t-il juste ?

[samoufar]

Pas de problème

La majoration doit se faire par une fonction positive et intégrable.
Or ce "majorant" () n'est ni positif ni intégrable
D'ailleurs, tu ne peux même pas majorer par puisque .

Gardes le dans ton majorant et étudies le comportement aux bornes du majorant

En ce qui concerne la question 2, tu dois avoir une expression de sous forme intégrale. Essaies d'intégrer par parties en intégrant et en dérivant .

[Maths-ForumR]

Très bien pour l'iPP j'ai :

f'(x)=

donc f'(x)= -1/x f(x) + = -1/x f(x) + 1/x²

[samoufar]

Presque, n'oublies pas que le signe s'applique à toute entière et pas seulement au terme .

Sinon c'est tout bon pour la domination de la question 1 ?

[zygomatique]

si t > 1 alors qui est intégrale ... par exemple ....

l'intégrale de 0 à 1 est finie ...

[Maths-ForumR]

Oui c'est bon merci beaucoup