Intégrale a paramètre réel

[Maths-ForumR]

Bonjour,

Voici un exercice qui me pose problème :

Soit F(x) = ∫ [1+xsin²(t)]^(1/2) dt les bornes de l'intégrale sont (0,Pi/2)
1° Montrer que F(x) est défie et continue sur ]-1; +00[
2° Montrer que F(x) est indéfiniment dérivable sur ]-1; +00[

1) Soit g(x,t)=[1+xsin²(t)]^(1/2)
->Pour tout x ∈ A= [-1,+00[, g(x,t) est continue sur I
->Pour tout t ∈ I= [0;Pi/2] , g(x,t) est continue sur A
-> Hypothèse de domination :
pour tout x ∈ [-1,+00[
pour tout t ∈ [0;Pi/2]

Et la je bloque il faut que je major g(x,t) par une fonction intégrable sur [-1,+00[

Mes 2 premières hypothèses sont t-elles juste ?
Et pouvez vous m'aider pour la dernière merci !

[Ben314]

Sur le principe, c'est bon mais la rédaction ne va pas du tout :

->Pour tout x ∈ A= [-1,+00[, g(x,t) est continue sur I

a) La phrase en question utilise la lettre qui n'est pas définie précédemment.
b) Si t est un réel de I, alors g(x,t) est un réel et dire que "un réel est continu sur I" est un non sens.
Bref, il faut écrire que : "Pour tout x ∈ A= [-1,+00[, la fonction t->g(x,t) est continue sur I"
A la limite, si on est vraiment feignant, on peut convenir de noter g(x, . ) la fonction t->g(x,t)

Sinon, concernant la majoration, de nouveau, si tu écrit uniquement que tu veut "majorer g(x,t) par une fonction intégrable sur [-1,+00[", ça n'a de nouveau pas trop de sens vu que g(x,t) est un réel et que majorer un réel... c'est bof bof.
Commence par écrire correctement ce que tu cherche et tu verra que, comme très souvent, ça représente 50% du travail alors que lorsque l'on se permet d'écrire les truc "à la salaud", en général, ça ne fait qu'embrouiller.

Une fois que tu aura écrit le truc proprement, tu devrait constater que la fonction que tu cherche... n'existe pas... : FAIT LE puis réfléchi à comment "contourner le problème".

[Maths-ForumR]

Il faut que je trouve une fonction f:I->R, positive, continue et intégrable sur [-1;+00[ ,
telle que : lg(x,t)l <= k(t)

Faut il prendre un intervalle [a,b] avec a<b qui appartient a [-1;+00[ pour pouvoir continuer ?
Je ne vois pas comment faire.

[Ben314]

Il faut que je trouve une fonction k:I->R, positive, continue et intégrable sur [-1;+00[ ,
telle que, pour tout t ∈ [0;Pi/2] et tout x ∈ [-1,+00[ : lg(x,t)l <= k(t)

Le fait que l'on veuille que pour tout x ∈ [-1,+00[ : lg(x,t)l <= k(t) conduit évidement à étudier la borne supérieure de l'ensemble {|g(x,t)| ; x ∈ [-1,+00[} (avec t fixé) : c'est ce qu'on doit lire immédiatement dans la formule en question (à condition de l'avoir écrit correctement bien sûr...)
Or, si t est non nul, ce sup vaut +oo donc une telle fonction k n'existe pas.

Sauf que, si tu avait effectivement essayé de déterminer ce sup, tu aurais vu que le +oo était "atteint" lorsque x->+oo et tu en aurais déduit que, pour remédier au problème, il suffisait d'interdire à x de dépasser une borne fixée d'avance c'est à dire essayer d'appliquer le théorème sur l'intervalle [-1,b] avec b>-1 fixé (en te disant que si ça marche quelque soit le b fixé, ça prouvera que F est continue sur tout [-1,b], quelque soit b et que ça prouvera bien qu'elle est continue sur [-1,+oo[)

[Maths-ForumR]

Pouvez vous me montrer comment bien rédiger l'hypothèse de domination ?

[Ben314]

Pour un t fixé de [0,Pi/2], c'est quoi les variations de la fonction sur [-1,+oo] ?
Donc c'est combien le sup de cette fonction sur [-1,b] ?

[Maths-ForumR]

f'(x)= 1/2 . [(1+xsin²(t) ]^(-1/2) . sin²(t)
Mais comment trouver la valeur en -1 et en laquel f'x) s'annule cela dépend de t même si il est fixé

pour x-> +00 ; f(x) -> +00

[Ben314]

Heu.....
Il faudrait peut-être songer à "redescendre les pieds sur terre" :
Pour t fixé, la fonction x->1+x.sin²(t) est de la forme x->1+ax, c'est à dire affine avec a=sin²(t)>=0 donc elle est croissante (niveau=Collège) et, sur [-1,+oo[ elle est supérieure à la valeur en -1, c'est à dire 1-sin²(t) donc positive.
La fonction u->racine(u) est définie pour u>=0 [donc racine(1+x.sin²(t)) est définie pour tout x>=-1] et elle est croissante sur son domaine de définition (niveau=Seconde) donc la fonction x->racine(1+x.sin²(t)) est croissante comme composée de fonction croissante (niveau=Seconde sauf erreur).

Enfin, bref, il faut avoir l'esprit bien tordu pour se faire c... à calculer la dérivée (non triviale) du truc en question pour trouver son sens de variation.
Sans parler du fait que, si tu ne t'es pas gouré dans tes calculs (inutiles...) et qu'on a effectivement f'(x)=1/2 . [(1+xsin²(t) ]^(-1/2) . sin²(t) alors :
1) f'(-1)=1/2 . [(1-sin²(t) ]^(-1/2) . sin²(t) n'est absolument pas nul : le seul vague soucis qu'on a, c'est que cette formule dit que f'(-1) n'est pas défini lorsque sin(t)=1 (i.e. t=Pi/2), mais on s'en fout vu que f est continue en -1 et donc que la croissance de f sur ]-1,+oo[ entraine celle de f sur [-1,+oo[.
2) Le signe de f' ne dépend absolument pas de t : (n'importe quoi)^(-1/2), si ça existe, c'est positif (une racine est toujours positive) et sin²(t) est positif donc f'(x) est positif pour tout x et tout t.

[Maths-ForumR]

Donc le borne sup de f(x)= (1-sin²(t))^1/2 ?
c'est la valeur en (-1) le plus petit des majorant

[Ben314]

Donc le borne sup de f(x)= (1-sin²(t))^1/2 ?

bis repetita : écrit les truc correctement
Une borne supérieure, ça se calcule sur une partie de R et, à la limite, on peut parler du sup d'une fonction f:X->R sur une partie A de X, ce qui est un espèce de raccourci d'écriture (et encore...) pour parler du sup de f(A) qui est bien une partie de R.
Là, je suppose que ce que tu veut dire, c'est que :
Sup{f(x) ; x dans ???} = (1-sin²(t))^1/2
et, évidement, pour que je confirme ou infirme ce résultat, ben faudrait que je sache qui c'est les ???

[Maths-ForumR]

Sup {f(x) ; x dans [-1;+00[ } = (1-sin²(t))^1/2

[Ben314]

Sup {f(x) ; x dans [-1;+00[ } = (1-sin²(t))^1/2

Si f désigne la fonction sur [-1,+oo] (avec t fixé) alors c'est clairement faux : la fonction f est croissante donc son sup sur [-1,+oo[ est égal à sa limite en +oo et cette limite est égale à +oo (sauf si sin(t)=0, cas dans lequel on a f(x)=1 pour tout x).

Par contre, toujours du fait qu'elle elle est croissante, sa borne inférieure sur [-1,+oo[ est effectivement , mais vu le contexte, la borne inférieure, ben on a rien à f...

Et je rajouterais qu'a mon sens, c'est pas vraiment la peine d'être "grand druide" pour voir que, si une fonction est croissante sur un intervalle [a,b] alors la plus petite valeur qu'elle prend, c'est f(a) et la plus grande valeur qu'elle prend, c'est f(b)?
Ca te semble franchement compliqué comme truc à comprendre ?

[Maths-ForumR]

Mais on ne peux pas écrire : sup {f(x) ; x dans [-1;+00[ } = +00 donc comment faire ?

[Ben314]

Mais on ne peux pas écrire : sup {f(x) ; x dans [-1;+00[ } = +00 donc comment faire ?

On peut éventuellement accepter qu'une borne sup soit infinie et écrire un tel truc.
Et sinon, il suffit d'écrire à la place que f([-1,+oo[) (qui est une partie de R) n'est pas majorée donc n'admet pas de borne sup dans R.
Évidement ce que ça "dit", c'est exactement la même chose, mais comme c'est un peu plus long à écrire sous la deuxième forme, certains auteurs acceptent d'écrire directement que le sup "vaut" +oo.

De toute façon, c'est uniquement un "détail d'écriture" sans importance pour les raisonnement de savoir si on s'autorise ou pas à écrire que Sup(A)=+oo lorsque A est une partie de R non majorée ou si on s'impose d'écrire à la place que A n'est pas majoré.

Bon, sinon, on tourne sévèrement en rond vu que pour le moment, tout ce que ça prouve, c'est qu'une fonction k telle que celle cherchée dans ton post de 11h33 ne peut pas exister.

[Maths-ForumR]

Donc si on prend l'intervalle [-1,b] avec b>-1 fixé
Alors sup {f(x) ; x dans [-1;b[ }]= (1+b.sin²(t))^1/2

[Ben314]

Ben évidement que oui, vu que f est croissante...

[Maths-ForumR]

Mais il faut prouver que z->(1+b.sin²(t))^1/2 est intégrable est ce n'est pas une intégrale de référence

[Ben314]

Le fait qu'une fonction continue sur un intervalle fermé borné soit intégrable, ça ne te dit rien ?

[Maths-ForumR]

non je ne voix pas

[Ben314]

Ben c'est pourtant LE théorème "de base" de l'intégration que tu as forcément vu... depuis longtemps... vu qu'on risque pas de faire des intégrales à paramètres si on a pas acquis précédemment le B-A-BA du calcul intégral.