Intégrale à paramètre et continuité

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

j'essaye de faire un exercice sur les intégrales à paramètre et la continuité mais je suis totalement bloqué,


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Soit une fonction continue par morceau de R dans C et intégrable

Je dois montrer que l'application qui va de R dans R et qui à tout associe :




est continue sur R


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Pour le problème de définition c'est réglè, mais je ne vois pas comment faire pour montrer la continuité, je bloque vraiment


Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Ben314]

Salut,
Y'a sans doute plus malin, mais a froid je vois qu'une méthode un peu bourrin :
1) Montrer "à la main" que ça marche pour une fonction f continue sur [a,b] et nulle en dehors de [a,b] (mais pas forcément continue en a et b).
2) Montrer que, à "epsilon prés" (au niveau de l'intégrale), ta fonction f peut être vu comme une somme finie de fonctions du type de celle du 1).

[arnaud32]

tu peux utiliser le th de convergence dominee
en considerant les fonctions pour une suite donne

[Ben314]

Tu domine par quoi dans ce cas là ?

[SLA]

Tu domine par quoi dans ce cas là ?

Je dirais .

Enfin, je commencerais par traiter le cas où est à support compact (comme tu le suggère Ben314).

[Ben314]

Je dirais .

Formellement parlant, on n'a pas et je suis pas sûr qu'on puisse passer outre.

[SLA]

Formellement parlant, on n'a pas et je suis pas sûr qu'on puisse passer outre.
En particulier, si on pouvait s'en sortir avec une majoration de ce type, on n'aurais pas besoin de l'hypothèse "f continue par morceaux" alors que je me demande si le résultat reste vrai pour une fonction supposée uniquement intégrable sur R.

Oui, pardon. Je faissais plutôt dans ma tête.
Tout de même, je suppose à support compact (disons dans [a,b] pour faire simple), alors est également à support compact inclus dans [a-h,b-h] donc est également à support compact disons [-A,A] inclus dans [-A-1,A+1]
Donc une majoration (brutale) est donnée par
Le résultat est donc vrai pour les fonctions continues à support compact

Ensuite pour h_n suite tendant vers h et f_n suite de fonctions continues à support compact tendant vers f (pour la norme donnée par l'intégrale) je pose puis j'écris

puis que je fais m tends vers l'infini et enfin n tends vers l'infini.

[arnaud32]

pour une suite donne
qui est dominee par et converge presque surement vers