[licence] Intégrale de Lebesgue

[Anonyme]

Bonjour

La fonction f(x) = x^(-1/2) est continue sur ]0,1]
et intégrable au sens de Riemann généralisé, ainsi
qu'au sens de Cauchy (càd par les primitives).

Cependant elle n'est pas bornée.
Est-elle Lebesgue intégrable ?

Merci, Pierre

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
>
> La fonction f(x) = x^(-1/2) est continue sur ]0,1]
> et intégrable au sens de Riemann généralisé, ainsi
> qu'au sens de Cauchy (càd par les primitives).
>
> Cependant elle n'est pas bornée.
> Est-elle Lebesgue intégrable ?

Comme toute fonction de la forme 1/x^a avec a < 1
Tu peux considérer la suite monotone croissante 1/sqrt(x) * fct
caractéristique de ]1/n;1]

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit
> Comme toute fonction de la forme 1/x^a avec a Tu peux considérer la suite monotone croissante
> 1/sqrt(x) * fct caractéristique de ]1/n;1]

Je te remercie. Je n'avais pas pensé au théorème de
convergence monotone.

J'avais dans l'idée de construire une suite croissante de
fonctions étagées pour appliquer directement la définition
d'une fonction L-intégrable, mais cela semble plus dur.

Pierre

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de news:
cbbspm$n4a$1@news.mgn.net...
> Nicolas Richard a écrit[color=green]
> > Comme toute fonction de la forme 1/x^a avec a > Tu peux considérer la suite monotone croissante
> > 1/sqrt(x) * fct caractéristique de ]1/n;1]
>
> Je te remercie. Je n'avais pas pensé au théorème de
> convergence monotone.
>
> J'avais dans l'idée de construire une suite croissante de
> fonctions étagées pour appliquer directement la définition
> d'une fonction L-intégrable, mais cela semble plus dur.[/color]

Toute fonction Riemann intégrable sur un intervalle (non nécessairement
segment) est Lebesgue intégrable et les intégrales correspondantes sont
égales (cf. un de mes posts qui date de moins d'un mois)

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[Anonyme]

Merci beaucoup (avec un peu de retard).
Je ne connaiissais pas ce résultat.

Pierre