[licence] Intégrale de Lebesgue (2)

[Anonyme]

Bonjour

Hypothèses :
Soit (X, tau, µ) un espace mesuré.
Soit f : X --> R+ une fonction mesurable positive
Soit (f_n) une suite de fonctions tau-étagées convergeant
simplement vers f (on démontre qu'il en existe une).
On sait définir simplement l'intégrale d'une fonction étagée.

Définition :
Alors la µ-intégrale de f est par définition égale à la limite
de la suite des intégrales des fonctions f_n. On dit que f est
µ-intégrable si cette limite est finie.

Question :
Pourquoi est-il nécessaire dans cette définition que la suite
(f_n) soit croissante ?

Merci,
Pierre

[Anonyme]

Malgré mes efforts j'ai quand même oublié quelque chose
dans les hypothèses : la suite (f_n) doit être croissante.

[Anonyme]

> Question :
> Pourquoi est-il nécessaire dans cette définition que la suite
> (f_n) soit croissante ?
>

J'appelle (f_n) et (g_n) des suites croissantes de fonctions étagées
positives, f une fonction mesurable positive et g étagée positive.

* Si lim f_n = f, et g<=f, alors int(g)<= lim int(f_n).

D'où l'on tire que:

* Si (f_n) et (g_n) convergent simplement vers f, alors lim int(f_n) = lim
int(g_n).

et en posant int(f) = int(f_n),

* int(f) = Sup(int(h_n); h_n <= f, h_n étagée positive).

[Anonyme]

Je te remercie, mais cela ne répond pas à ma question.
Je la formule autrement :

Si (f_n) est une suite *non croissante* de fonctions étagées
positives convergeant vers f. Alors la limite de la suite
(intégrale f_n) ne converge pas vers l'intégrale de f ?

Et si (comme je le pense) c'est le cas, alors pourquoi
prend-on une suite croissante dans la définition ?

Pierre