[licence] intégrale de Lebesgue

[Anonyme]

Bonjour

Soit X un ensemble et f : X --> IR une application.

On note | f | = max (f , -f)

On montre que si f est intégrable alors | f | l'est aussi car
f intégrable => -f intégrable => sup (f, -f) intégrable

Mais comment montre-t-on la réciproque (si elle est vraie) ?

Merci

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

> On montre que si f est intégrable alors | f | l'est aussi car
> f intégrable => -f intégrable => sup (f, -f) intégrable
>
> Mais comment montre-t-on la réciproque (si elle est vraie) ?

C'est la définition de l'intégrabilité!

--
Maxi

[Anonyme]

Pardon je me suis trompé.

Il faut lire partout mesurable au lieu de intégrable.

Sorry

[Anonyme]

> Pardon je me suis trompé.
>
> Il faut lire partout mesurable au lieu de intégrable.

Tu prends une partie A de R qui n'est pas un borélien, et f valant 1 sur A
et -1 ailleurs. Alors |f| est mesurable, mais pas f.

--
Maxi

[Anonyme]

Maxi a écrit

> Tu prends une partie A de R qui n'est pas un borélien,
> et f valant 1 sur A et -1 ailleurs. Alors |f| est mesurable,
> mais pas f.

Merci.

J'en déduis que l'implication
| f | intégrable ==> f intégrable
est fausse.

Cela ne peut donc pas constituer la définition de l'intégrabilité,
comme a tenté de nous le faire croire notre prof ?

Pierre

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
> J'en déduis que l'implication
> | f | intégrable ==> f intégrable
> est fausse.

mesurables?
Ben clairement, d'aps l'exemple de Maxi.

Mais pour l'intégrabilité, la définition de f intégrable c'est int(|f|)
f intégrable.

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a
[color=green]
> > J'en déduis que l'implication
> > | f | intégrable ==> f intégrable
> > est fausse.
> mesurables?[/color]

Non je voulais bien dire intégrable cette fois.

> Mais pour l'intégrabilité, la définition de f intégrable c'est int(|f|)
> évidemment, vu que |f| = ||f||, |f| intégrable => f intégrable.

J'ai vu où était mon erreur. C'est que la définition exacte est :
" f est intégrable si f est mesurable et si | f | est intégrable "

tout bêtement.

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
> J'ai vu où était mon erreur. C'est que la définition exacte est :
> " f est intégrable si f est mesurable et si | f | est intégrable "
>
> tout bêtement.

Mais bon, "toutes les fonctions sont supposées mesurable en théorie de
la mesure" tout comme "toutes les fonctions sont supposées continues en
topologie". Règles par ailleurs confirmées par des exceptions, puisque
certains théorèmes affirment la mesurabilité (ou la continuité) sans la
prendre comme hypothèse

--
Nico.

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
> On note | f | = max (f , -f)

D'habitude il me semble que ce qui est défini est à gauche (ou alors je
passe trop de temps sur un ordinateur). Donc tu définis |f| comme étant
max(f,-f) ? Ca me parait suspect, généralement on introduit |f| bien
avant les notations utilisant max, sup, etc...
D'autre part max(f,-f) a besoin d'être définie comme étant [x ->
max{f(x),-f(x)}]

Si tu définissais max(f,-f) de cette manière,... pourquoi tu utilises
|f| dans la suite?

Je reste perplexe

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit dans[color=green]
> > On note | f | = max (f , -f)
>
> D'habitude il me semble que ce qui est défini est à gauche (ou alors je
> passe trop de temps sur un ordinateur). Donc tu définis |f| comme étant
> max(f,-f) ? Ca me parait suspect, généralement on introduit |f| bien
> avant les notations utilisant max, sup, etc...
> D'autre part max(f,-f) a besoin d'être définie comme étant [x ->
> max{f(x),-f(x)}]
> Si tu définissais max(f,-f) de cette manière,... pourquoi tu utilises
> |f| dans la suite?[/color]

Je ne comprend pas. La valeur absolue de f est effectivement
définie par x -> max{f(x),-f(x)}. Quel est le problème ? On trouve
souvent cette définition. Tu peux la définir autrement mais de
toutes manières c'est sans influence sur la théorie de la mesure.

Pour ce qui est des intégrales, dans l'ordre :

1) On définit les fonctions étagées positives et leurs intégrales.

2) On définit la mesurabilité d'une fonction

3) On montre que si f est mesurable, alors
f+ = max(0, f)
f- = max(0, -f)
| f | = max(-f, f)
sont mesurables.

4) on montre que si f est positive et mesurable, elle est
limite d'une suite croissante de fonctions étagées positives.

5) on montre que toutes les suites croissantes de fonctions
étagées positives qui convergent vers une même fonction f
positive sont telles que la suite des intégrales converge vers
une même limite. Cette limite est par définition l'intégrale de f
et on dit que f est intégrable si cette limite est finie.

6) si f est mesurable non positive, et si f+ et f- sont intégrables,
on dit que f est intégrable, et son intégrale vaut
(intégrale de f+ ) - (intégrale de f- )

Voilà la logique

Ma question d'origine portait sur le fait que le pont (6) peut
être remplacé par :

6 bis) si f est mesurable non positive, et si | f | est intégrable,
on dit que ...

Pierre

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
> Je ne comprend pas. La valeur absolue de f est effectivement
> définie par x -> max{f(x),-f(x)}. Quel est le problème ? On trouve
> souvent cette définition. Tu peux la définir autrement mais de
> toutes manières c'est sans influence sur la théorie de la mesure.

C'était une question bien bête, en fait tu dis "on note |f| = max(f,-f)"
et:
- Soit on est en train de définir |f| qui est pourtant une notation méga
utilisée. Donc, a priori c'est plutot...
- ... un définition pour max(f,-f) qui est ainsi défini. Auquel cas tu
ne l'as pas utilisée dans la suite du message (tu as utilisé sup, bon
c'est pareil) et ça m'étonne

Rien de mieux.

> 1) On définit les fonctions étagées positives et leurs intégrales.

Comment définis tu l'intégrale d'une fonction étagée si tu ne sais pas
qu'elle est mesurable?

--
Nico.

[Anonyme]

> > 1) On définit les fonctions étagées positives et leurs intégrales.
>
> Comment définis tu l'intégrale d'une fonction étagée si tu ne sais pas
> qu'elle est mesurable?

Peut-être parce que par définition elles le sont?
Non sérieusement on va pas redétailler tout un cours d'intégration ici.

--
Maxi

[Anonyme]

Maxi a écrit :
> Peut-être parce que par définition elles le sont?

Si on prend un ensemble non mesurable et la fonction caractéristique
correspondante... nan?

> Non sérieusement on va pas redétailler tout un cours d'intégration ici.

Ben non mais ce détail me paraissait suspect.

--
Nico.

[Anonyme]

> Si on prend un ensemble non mesurable et la fonction caractéristique
> correspondante... nan?


Justement en général une fonction étagée est par définition une comninaison
linéaire d'indicatrices d'ensembles mesurables de mesure finie.

--
Maxi

[Anonyme]

Maxi a écrit :
>[color=green]
> > Si on prend un ensemble non mesurable et la fonction caractéristique
> > correspondante... nan?
>
> Justement en général une fonction étagée est par définition une comninaison
> linéaire d'indicatrices d'ensembles mesurables de mesure finie.[/color]

C'eut été mieux d'appeler 'simple' les fct étagées et 'étagées' les fcts
simples.
(Note: j'appelle fct simple une fonction d'image finie)

--
Nico.

[Anonyme]

Maxi a écrit :
> Peut-être parce que par définition elles le sont?
> Non sérieusement on va pas redétailler tout un cours d'intégration ici.

Inutile de s'énerver pour si peu, tu n'es pas obligé de répondre si ça
ne t'intéresse pas. Pour une fois que j'étais complètement en charte...

a+

PS: Ton adresse perso ne marche pas, 550
... User unknown

--
Nico.

[Anonyme]

> > Peut-être parce que par définition elles le sont?[color=green]
> > Non sérieusement on va pas redétailler tout un cours d'intégration ici.
>
> Inutile de s'énerver pour si peu, tu n'es pas obligé de répondre si ça
> ne t'intéresse pas. Pour une fois que j'étais complètement en charte...[/color]

Je ne m'énervais pas... Je signalais juste qu'il n'y avait pas besoin de
taper des posts très longs avec du cours (ce qui est long à télécharger pour
certains), mais juste de se mettre d'accord sur les définitions du début.

--
Maxi

[Anonyme]

> C'eut été mieux d'appeler 'simple' les fct étagées et 'étagées' les fcts
> simples.
> (Note: j'appelle fct simple une fonction d'image finie)

Dans mes cours étagée = simple et, par définition, elles ne prennent qu'un
nombre fini de valeurs non nulles, sont mesurables et l'image réciproque des
singletons non nuls sont mesurables de mesure finie. Avec cette définition,
on écrit facilement les théorèmes etc. Sinon il faut détailler plein de
choses: "soit une fonction simple mesurable non nnulle sur une partie de
mesure finie..."

--
Maxi

[Anonyme]

> Je ne m'énervais pas...

N'embêtez pas Maxi !!!!!