Intégrale exotique

[aime-leen]

Bonjour à tous,

J'essaie de calculer cette intégrale :



Lorsque m=0, j'ai trouvé, ça vaut 1/2.
Mais quand m est quelconque, je ne m'en sors pas...

J'ai déjà essayé : - de me référer aux densités statistiques connues (celle de la loi log normale qui semble proche de ma fonction)
- développement en séries entières (mais j'ai peur que la fonction en devienne alors plus mesurable)
- évidemment, de multiples changements de variables et IPP mais j'ai peut être raté celui qui me donnera la solution

Bref, avez-vous des idées?
Merci beaucoup !

[MathematicienPoche]

alors c'est l'intégrale d'une lognormale déguisée. Tu peux voir la loi ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_log-normale. Si tu poses x = ln(u) tu as dx = du/u tu arrives à une forme qui te permet de faire un autre petit changement de variable pour tomber sur une lognormale.

[aime-leen]

Merci pour ta réponse

j'ai déjà essayé et ça ne fonctionne pas :(
La densité de la loi log normale est en 1/x alors que je me retrouve avec du 1/(1+x) dont je n'arrive pas à me dépêtrer pour retomber sur cette densité...

[MathematicienPoche]

Alors je t'expliques au long. Je vais noté tout le e^truc = e^k

tu as [e^k/u(u-1)] lorsque tu appliques le changement de variable x = ln(u-1) dx = du/(u-1) .

Ensuite, tu peux remarquer en te servant des fractions partielles que:

e^k/(u-1) - e^k/u = [e^k/u(u-1)] .

Donc, les deux intégragles sont des lognormales.. c'est en fait une différence de lognormales. n'oublie pas d'ajuster les coefficients pour la variance parcontre!

[aime-leen]

Oui c'est exactement ce que j'ai fait : un des termes de la somme est bien une log normale, l'autre non...

Ou alors je ne vois vraiment pas la transformation qu'il faut pour la faire clairement apparaître... :(

[MathematicienPoche]

:lol3: INDICE:

dans la deuxième intégrale, qu'est-ce qui se passe si tu remplaçe u par 1+e^x? Et de plus, qu'est-ce qui se passe si tu renvoi le deuxième terme de la somme de l'autre côté de l'égalité?

[aime-leen]

Ah oui ça aussi je l'ai fait, c'est d'ailleurs comme ça que j'ai trouvé que quand m=0, alors l'intégrale vaut 1/2 : on a une égalité du style I = 1-I.

Mais quand le m apparait, alors on obtient une égalité du type I(m) = 1- I(-m).

J'ai vraiment beau chercher...