Intégrale dépendant d'un paramètre

[ludo60]

Bonjour, je dois montrer (de deux façons différentes) que la fonction est bien définie sur .

Ma première idée est d'utiliser le théorème d'Abel.

J'ai donc posé qui est positive, décroissante vers 0 pour .

Je pose ensuite pour x quelconque fixé. Le but est de montrer que est réel.

Or, j'ai montré que ce qui pose problème pour au voisinnage de 0.

Merci d'avance pour votre aide.

[capitaine nuggets]

Salut !

J'ai un peu de mal à comprendre ce que tu fais. est définie si et seulement si l'intégrale est définie quelle que soit , où .
Pour cela, majore sur , pour , par une fonction (indépendante de ) telle que la limite existe et est finie.
Tu auras alors .

[ludo60]

Bonjour, merci pour ta réponse !

Je tentais d'utiliser le théorème d'Abel qui me semblait adapté...

Sinon, effectivement, j'avais d'abord pensé à une majoration mais je n'arrive pas à aboutir. Je procéderais ainsi:

. Mais l'intégrale entre 1 et de cette dernière fonction n'existe pas.

[Ben314]

Salut,

Or, j'ai montré que ce qui pose problème pour au voisinnage de 0.

Non, ça ne pose aucun problème : on ne te demande pas si F est continue (ou dérivable), mais seulement si elle existe donc ce qu'il faut montrer, c'est que pour un fixé ton intégrale converge et là, tu vient de montrer que, si (*) alors le théorème d'Abel peut s'appliquer et montre la C.V. de l'intégrale. Donc il te reste juste à vérifier que, pour x=0, l'intégrale.

Sinon, a mon avis, "l'autre" méthode, c'est une simple intégration par parties (en "primitivant" le sin(tx) de façon à faire apparaitre du 1/t qui va "aider" à la convergence en +oo) (par majoration "directe", ça donne effectivement un truc équivalent à du 1/t en +oo et ça ne permet pas de conclure)


(*) Et je t'inciterais plus que fortement, quelque soit le contexte (i.e. même à l'oral, même sur un Forum où on parle "vite fait", même au brouillon, etc...) à systématiquement préciser le "contexte" dans lequel tu te place, par exemple à ne jamais écrire comme tu l'a fait "Or, j'ai montré que ..." mais à écrire Or, j'ai montré que, pour tout x ..., on a ..." (en occurrence "pour tout x non nul")
Tu peut être certain que si tu ne prend pas cette habitude là, ça va fréquemment te jouer de vilains tours...

[ludo60]

Merci Ben, l'intégration par parties marche très bien. Je prends note de tes conseils.

Bonne soirée