Intégrale dans le plan complexe

[marcoprs]

Bonjour,
j'ai un petit exercice à résoudre. Voici l'énoncé :

Calculer l'Intégrale suivante : int(1/(2-cos(z))dz sur le domaine D ou D désigne le segment du plan de Cauchy qui lie le point d'affixe i*ln(3) au point i*ln(3) + 2*Pi.

J'ai pense à utiliser la relation cos(z)=(e^iz + e^-iz)/2 puis ensuite poser t=e^iz.

Mais je ne sais pas trop comment calculer l'intégrale sur ce segment D.

Merci de votre aide.

[Ben314]

J'ai pense à utiliser la relation cos(z)=(e^iz + e^-iz)/2 puis ensuite poser t=e^iz.

A mon avis, c'est la bonne méthode.
A ta place, je commencerait par paramétrer ton segment D pour obtenir une intégrale "classique" (i.e. à bornes réelles) puis je ferait le changement de variable dont tu parle pour ramener le problème à une intégrale complexe le long du cercle trigo.
Comme c'est un chemin fermé, tu devrait alors obtenir ton résultat via le th. des résidus.

P.S. Si tu as déjà vu qu'on avait le droit de le faire, tu peut aussi directement faire un changement de variable complexe complexe en posant z'=f(z)=e^iz et en regardant quel est l'image du chemin (orienté) D par la fonction f (ça va être un cercle)

[marcoprs]

A mon avis, c'est la bonne méthode.
A ta place, je commencerait par paramétrer ton segment D pour obtenir une intégrale "classique" (i.e. à bornes réelles) puis je ferait le changement de variable dont tu parle pour ramener le problème à une intégrale complexe le long du cercle trigo.
Comme c'est un chemin fermé, tu devrait alors obtenir ton résultat via le th. des résidus.

Bonjour,

Est-ce que je peux paramétrer ce segment avec f(t)= i*ln(3) + t ou t appartient à [0,2*Pi]. ?

[Ben314]

Bonjour,

Est-ce que je peux paramétrer ce segment avec f(t)= i*ln(3) + t ou t appartient à [0,2*Pi]. ?

Oui : à mon avis c'est le mieux.
Sinon f:[0,1]->C ; t -> f(t)=i*ln(3) + 2pi.t
marche aussi, mais on peut pas dire que ce soit franchement différent.


Pour vérif., après quelques lignes, j’obtiens où C est le cercle trigo.
Le seul pôle (simple) dans le disque unité est et il suffit de calculer le résidus en ce point pour conclure.