Caractérisation des carrés dans le plan complexe

[yos]

Bonjour.

Je propose un exercice pas trop dur mais dont j'aime bien le résultat :

Soit A(a), B(b), C(c), D(d) des points du plan complexe.
1) Démontrer que ABCD est un carré direct ssi a+c=b+d et a+bi=c+di.
2) Proposer une CNS pour que ABCD soit un carré.

[L.A.]

Bonjour.

1) J'ai une solution qui fait appel à la bonne vieille géométrie de collège :

a+c=b+d => (a+c)/2 = (b+d)/2 => les diagonales se coupent en leur milieu => ABCD parallélogramme

a+bi = c+di => (a-c) = i(d-b)
=> |a-c|=|d-b| => les diagonales sont de même longueur => ABCD rectangle

et => angle (BD,CA) = +pi/2 => les diagonales sont perpendiculaires => ABCD carré (direct)

Pour la réciproque il suffit de tout remonter.

2) ABCD est un carré ssi ABCD ou son conjugué est un carré direct
ssi (a+c=b+d et a+bi=c+di) ou (a*+c*=b*+d* et a*+b*i=c*+d*i)
ssi a+c=b+d et (a+bi=c+di ou a-bi=c-di)

[Doraki]

Tu peux combiner (a+bi=c+di ou a-bi=c-di) :
(a+bi-c-di)(a-bi-c+di) = (a-c)²+(b-d)²

Ca équivaut donc à (a-c)² +(b-d)² = 0.

Géométriquement, c'est que les vecteurs AC et BD sont de même longueur et orthogonaux.

[mathelot]

bonjour,



?

[yos]

?

J'ai pas compris Mathelot.

Pour la question 1, on peut aussi utiliser , mais ça revient à ce qu'a fait L.A.
Pour la question 2, j'avais aussi multiplié les deux relations. Doraki nous montre que c'est même pas la peine.
Cela me fait penser d'ailleurs que j'avais voulu trouver une seule égalité pour caractériser les carrés, et j'avais donc été tenté de remplacer des égalités e=0, f=0 par la seule égalité e²+f²=0, ce qui, dans est une belle erreur. Question : comment remplacer deux égalités par une seule, comme on le fait dans R?

[L.A.]

On peut toujours dire que
e=0, f=0 <=> |e|²+|f|² = 0

[yos]

En effet.
Je n'ai pas eu le courage de développer
pour voir si ça se simplifiait.