Intégration dans le plan complexe

[Mathusalem]

Bonjour.



Je dois montrer

J'ai montré auparavant en étandant ma fonction au plan complexe, puis en utilisant le théorème des résidus sur un chemin
Bref, un demi arc de cercle englobant le pôle en z = ia uni au segment réél allant de -R à R.

Seulement voilà, si je reprends ce même chemin pour l'intégrale du début avec R = a, j'ai bien le bout d'intégrale de contour sur l'axe réél qui est mon intégrale cherchée, mais l'intégrale sur le demi-arc de cercle pose problème, puisque le chemin intercepte le pôle.

Est-ce c'est justifiable de prendre b a, pour arriver au résultat voulu ?

Je me pose cette question, parce qu'à priori, le résultat n'est pas le même que je prenne b > a (pole donc inclus) puis fasse tendre vers a, ou que je prenne b < a (pole exclu) puis fasse tendre vers a.
Ca voudrait dire que cette intégrale n'est mal définie, ce qui n'est pas le cas.

[Black Jack]

[quote="Mathusalem"]Bonjour.



Je dois montrer

J'ai montré auparavant en étandant ma fonction au plan complexe, puis en utilisant le théorème des résidus sur un chemin
Bref, un demi arc de cercle englobant le pôle en z = ia uni au segment réél allant de -R à R.

Seulement voilà, si je reprends ce même chemin pour l'intégrale du début avec R = a, j'ai bien le bout d'intégrale de contour sur l'axe réél qui est mon intégrale cherchée, mais l'intégrale sur le demi-arc de cercle pose problème, puisque le chemin intercepte le pôle.

Est-ce c'est justifiable de prendre b a, pour arriver au résultat voulu ?

Je me pose cette question, parce qu'à priori, le résultat n'est pas le même que je prenne b > a (pole donc inclus) puis fasse tendre vers a, ou que je prenne b t = -Pi/4
x = a --> t = Pi/4

I = 1/(2a³).[t + sin(2t)/2](de -Pi/4 à Pi/4)

I = (1/(2a³)).(Pi/2 + 1/2 + 1/2) = (1/(2a³)).(Pi+2)/2
I = (2+Pi)/(4a³)

:zen:

[Mathusalem]

Merci Black Jack,

J'ai utilisé le théorème des résidus dans le cas où les bornes sont infinies, et ça liquide l'intégrale en 2 secondes.

En revanche, il est vrai que lorsque les bornes sont finies, en faisant les résidus, j'ai une intégrale similaire à résoudre, donc j'y gagne pas grand chose.

Il reste quand même ma question ,quant à savoir si l'opération que je fais est légitime.

[yos]

Le théorème des résidus, et plus généralement une intégrale curviligne, exige qu'il y ait pas de pôle sur le contour.
Si on appelle F(b) l'intégrale sur le demi-cercle de rayon b que tu évoques, F(b) passe de 0 (lorsque b0 et indépendante de b (lorsque b>a), bref F est pas prolongeable par continuité en a.

[Mathusalem]

Le théorème des résidus, et plus généralement une intégrale curviligne, exige qu'il y ait pas de pôle sur le contour.
Si on appelle F(b) l'intégrale sur le demi-cercle de rayon b que tu évoques, F(b) passe de 0 (lorsque b0 et indépendante de b (lorsque b>a), bref F est pas prolongeable par continuité en a.

Je vois, mais alors en toute rigueur, malgré que ça me donne la bonne réponse, je ne peux faire appel au théorème des résidus pour calculer que si je change de contour, n'est-ce pas ?

Puis que c'est un "hasard" que lim b->a (par b<a) F(b) = réponse correcte

[yos]

J'ai pas fait les calculs mais l'intégrale sur le contour et l'intégrale sur [-b,b], c'est de toute façon pas la même chose. Il n'y a que pour b infini que ça coïncide à cause du lemme de Jordan qui te dit que l'intégrale sur le demi-cercle tend vers 0.

La méthode sans les résidus me parait bien. Tu tiens aux résidus?

Il est vrai que la présence du même aux bornes et dans l'intégrande est bizarre. Si j'ai le temps je regarderai.

[Mathusalem]

J'ai pas fait les calculs mais l'intégrale sur le contour et l'intégrale sur [-b,b], c'est de toute façon pas la même chose. Il n'y a que pour b infini que ça coïncide à cause du lemme de Jordan qui te dit que l'intégrale sur le demi-cercle tend vers 0.

La méthode sans les résidus me parait bien. Tu tiens aux résidus?

Il est vrai que la présence du même aux bornes et dans l'intégrande est bizarre. Si j'ai le temps je regarderai.

Oui, mais pour b < a, je pensais (naïvement), que l'intégrale sur l'arc était plus simple que l'intégrale sur le segment réel, et on a bien