Integrale curviligne.

[barbu23]

Bonsoir à tous,

Soit une application continue sur , et : un chemin contenue dans et de classe par morceaux.
On considère les deux intégrales suivantes :
- avec est considérée comme une courbe qui appartient au plan complexe. ( En employant les outils de l'analyse complexe pour calculer cette intégrale )
- avec est considérée comme un chemin qui appartient à l'espace vectoriel . ( En employant les outils du cours sur les intégrales curvilignes dans les - espaces vectoriels de dimension finie )
Ma question est :
Est ce que : ? Et pourquoi ?
Avez vous un exemple concret qui illustre ce fait ?

Merci d'avance. :happy3:

[arnaud32]

f = 1
et pour

[barbu23]

f = 1
et pour

Merci pour ta réponse. :happy3:
Comment as tu calculer : ( est dans ce cas là : , non ? )
Merci. :happy3:

[Ben314]

- avec est considérée comme un chemin qui appartient à l'espace vectoriel

Tu pourrait donner une définition de ce que signifie dans ce contexte ?
Perso, autant le A m'est trés familier, mais un truc du style du B, je ne me rapelle pas avoir jamais utilisé un truc pareil et je vois franchement pas comment on pourrait le définir (à part bien sûr de dire que, par définition, il est égal au A...)

[barbu23]

Tu pourrait donner une définitionde ce que signifie ?
Perso, je ne me rapelle pas avoir jamais utilisé un truc pareil....

Une fonction à valeurs dans est ce qu'on appelle un champ de vecteurs. Son intégrale sur une courbe est, ( par définition il me semble ) :

Merci d'avance pour votre aide. :happy3:

[arnaud32]

je dirais:

[barbu23]

n'est pas la formule qu'on trouve dans n'importe quel cours qui porte sur les intégrales curvilignes. :triste:

[barbu23]

La fonction définie par @Arnaud32 est : avec : . Son équivalent sur est la fonction : définie par : , non ?
Calculons l’intégrale curviligne de la fonction : définie par : le long du cercle défini par : avec : comme suit :



D'où : .
Donc, .
Maintenant, est ce que quelques soit ? Par exemple, lorsque : sur un ouvert : . Le problème est que je ne vois pas comment transformer en une fonction lorsque : .
Merci d'avance pour votre aide. :happy3:

[arnaud32]

de [0,1] dans C




de [0,1] dasn R²

[barbu23]

Oh, je suis déçu par ce résultat @Arnaud32.
Donc, pour reformuler théoriquement cela, on va affirmer que :
Deux fonctions "semblables" et , n'ont pas le même intégrale sur un ouvert ou un domaine, ou je ne sais quoi, non ?
Je cherche à attribuer une définition rigoureuse au terme : "semblable" à partir de ce qu'on a vu plus haut. :happy3:
Merci d'avance pour votre aide. :happy3:

[arnaud32]

tu ne peux pas comparer le produit dasn C avec le produit scalaire dans R²
tu vois bien que l'une de tes integrales est a valuer dans C et l'autre dans R

[barbu23]

tu ne peux pas comparer le produit dasn C avec le produit scalaire dans R²
tu vois bien que l'une de tes integrales est a valuer dans C et l'autre dans R

Oui, bien vu. Merci. :happy3:
Si et sont deux champs de vecteurs tels qu'ils existe deux difféomorphisme de classe : et tel que : , et si : un chemin sur E et un chemin sur tel que : . Est ce que : .
Merci d'avance. :happy3:

[arnaud32]

si tu as deux diffeomorpfismes differentes ca parrait mal engage

[barbu23]

si tu as deux diffeomorpfismes differentes ca parrait mal engage

Et si les difféomorphismes sont égaux, est ce que le résultat reste valable ?

[barbu23]

On traitera dans ce poste uniquement le cas où les difféomorphismes sont égaux, c'est à dire : .
On a vu d'après le contre-exemple de @arnaud32, que : . @arnaud32 affirme que c'est parce que la multiplication complexe ne coïncide pas avec le produit scalaire. :happy3:
J'essaye de creuser un peu plus sur cette idée entre le produit scalaire euclidien qui ne coïncide pas avec la multiplication complexe pour mieux comprendre ce phénomène d’intégration et voir à quel moment, l’intégration devient une invariance de similitude par changement de bases difféomorphe.
En effet :

et :

Or, les matrices : et ne sont pas semblables, c'est pourquoi les deux integrales ne coïncident pas. Est ce que c'est vrai cela ? Que se passe t-il lorsque les matrices sont semblables ? Les deux intégrales deviennent -t-ils égaux lorsque les deux matrices sont semblables ?

Merci d'avance. :happy3:

[mathelot]

J'essaye de creuser un peu plus sur cette idée entre le produit scalaire euclidien qui ne coïncide pas avec la multiplication complexe pour mieux comprendre ce phénomène d’intégration et voir à quel moment, l’intégration devient une invariance de similitude par changement de bases difféomorphe.

cette théorie existe, ce sont les classes d'homotopie des lacets dessinés sur une variété,

qui conduit au

[barbu23]

Dans quel but tu dis ça ? sache que je ne tiendrai pas compte de ce que tu dis.

[mathelot]

.........................................

[barbu23]

... cette théorie existe, ce sont les classes d'homotopie des lacets dessiné sur une variété,

qui conduit au

Non, ce n'est pas au niveau des lacets qu'on se place, mais au niveau des intégrandes eux même. On se demande, quant est ce que avec un objet qu'on cherche sa nature. :happy3:

[mathelot]

ce que je connais:

- la théorie des courbes rectifiables. on trouve ça dans les vieux bouquins de Lelong-Ferrand-Arnaudiès.

- la théorie du qui indique que pour deux lacets fermés et ,
dessinés sur une variété (une surface), quand il existe une homotopie qui
déforme en , les intégrales des fonctions holomorphes f(z)dz sont égales le long de et