Integrale complexe

[elvis77]

Bonsoir,

je n'arrive pas à calculer l'intégrale complexe suivante :
où est dans le disque unité. et est la cercle unité.
J'ai paramétrisé mon chemin et arrive à l'intégrale réelle suivante :
et après je suis bloqué, je voudrais passer au log complexe mais je ne suis pas à l'aise.
merci pour votre aide.

[Ben314]

Bonsoir,
Bon, déjà, le Log complexe, tu peut pas vraiment l'utiliser vu qu'on peut pas le définir sur l'ensemble du cercle trigo. (il faut au moins enlever un point) donc ça semble pas adapté.
Après, normalement, ce genre d'intégrale, on les donne à chercher en général aprés que l'on ait vu le "théorème des résidus" (qui permet dans un cas comme ici d'écrire directement le résultat).

Si tu n'a pas le théorème des résidus, je sais pas trop comment faire pour éviter des calculs longs et fastidieux (et au fond inutiles vu qu'il y a un théorème qui te donne le résultat direct).
Peut être qu'une solution pas trop longue consiste à appeler F(zo) cette intégrale (i.e. de la voir comme dépendant de zo) et de montrer en dérivant que F est en fait constante.
Comme F(0) est évident à calculer, ça règlerais le problème.

Autre solution (c'est à peu prés la même mais avec un paramètre réel et pas complexe) :
Pour tout réel tu note le cercle centré en de rayon parcouru dans le sens direct.
Tu note l'intégrale de ta fonction sur le cercle .
est l'intégrale que tu as à calculer et est l'intégrale sur le cercle centré en qui est évidente à calculer. Comme pour la première méthode, tu montre que est constante en vérifiant que ça dérivée est nulle.

[elvis77]

Merci pour votre réponse!
J'ai testé les deux solutions proposées en justifiant bien le passage de la dérivée sous le signe intégrale c'est à dire en supposant que est dans le cercle trigo. Dans ce cas, ça fonctionne.
Par contre si n'est pas dans le disque unité comment justifier que cette intégrale est nulle ?
Il s'agit en effet de parler par la suite du théorème des résidus mais cet exemple est introductif de l'indice d'un chemin par rapport à un point d'où ma question.

[Ben314]

Si tu as montré que F est constante à l'intérieur du disque, ben avec la même preuve ça montre aussi que F est constante à l'extérieur du disque et il suffit de faire tendre zo vers l'infini (par exemple en le prenant réel, mais ça n'a pas d'importance) pour voir que F est nulle à l'extérieur du disque.

[elvis77]

J'ai trouvé 1.
Merci pour l'explication pour à l'extérieur du disque.

[Ben314]

J'ai trouvé 1.
Merci pour l'explication pour à l'extérieur du disque.

Si tu as trouvé 1, c'est qu'il y avait devant tes intégrales des (ce qui est normal : c'est dans la définition de l'indice et ça sert a avoir un nombre entier comme résultat)

[elvis77]

oui, tout à fait, je ne l'avais pas mentionné.