Intégrabilité de produits de fcts continues

[Guigui1Pierre]

Bonjour,

Soit I un intervalle ouvert non vide.
Soit k une fct continue de I dans ]0,+inf[ telle que pour tout n de IN , la fct qui à x associe (x^n)k(x) est intégrable sur I.
Soit E l'ensemble des fcts f continues de I dans IR telles que f²k est intégrable sur I.

Comment montrer que pour toutes fcts f et g de E , fgk est intégrable sur I ?

[Guigui1Pierre]

Je pense qu'il faut prendre la partie de I telle que f² est supérieure à g². f² et g² étant continues, cette partie est une réunion d'intervalles.
Sur chacun de ces intervalles, |fg| est inférieur à f² donc |fg|k inférieur à f²k or f²k est intégrable donc par comparaison |fg|k est intégrable donc fgk aussi.
Puis, faire pareil avec la partie de I telle que g est supérieure à f.
Enfin, utiliser la relation de Chasles pour montrer que fgk est intégrable sur I.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Peux-tu comparer et ?

[Guigui1Pierre]

ah oui... plus simple effectivement:
identités remarquables (f+g)² et (f-g)²
2|fg|k inf ou égal à f²k+g²k qui est intégrable donc par comparaison |fg|k aussi.
Merci