Convergence uniforme d'une suite récurrente de fcts

[Supernova]

Bonjour!
Svp, dites-moi comment on fait l'étude de la convergence uniforme d'une suite de fonctions définie par une relation de récurrence, si je considère par exemple une fct f:[-1,1]--->[-1,1] continue tq |f(x)|<|x| si x!=0 et, f_0(x)=x et pour tout n, f_n+1(x)=f(f_n(x)), comment dois-je procéder?

Merci :help:

[Le_chat]

Sauf erreur, tu dois pouvoir trouver une constante k<1 telle que |f(x)|<=k|x| et là ça te simplifie bien la tache.

[cuati]

Bonjour!
Svp, dites-moi comment on fait l'étude de la convergence uniforme d'une suite de fonctions définie par une relation de récurrence, si je considère par exemple une fct f:[-1,1]--->[-1,1] continue tq |f(x)|<|x| si x!=0 et, f_0(x)=x et pour tout n, f_n+1(x)=f(f_n(x)), comment dois-je procéder?

Merci :help:

Bonsoir,
connais-tu l'un des théorèmes de Dini ?
Parce que là on a clairement une suite monotone de fonctions continues sur le compact [-1,1] dont on peut montrer assez facilement qu'elle converge simplement vers la fonction continue égale à 0, donc convergence uniforme...
Au pire on peut faire une démonstration de Dini dans ton cas particulier : Théorème de Dini

[Supernova]

Bonsoir,
connais-tu l'un des théorèmes de Dini ?
Parce que là on a clairement une suite monotone de fonctions continues sur le compact [-1,1] dont on peut montrer assez facilement qu'elle converge simplement vers la fonction continue égale à 0, donc convergence uniforme...
Au pire on peut faire une démonstration de Dini dans ton cas particulier : Théorème de Dini

oui, ya un exo dans ma fiche de td concernant ces théorèmes, mais il vient après celui-ci :p
anyway, je pense mieux utiliser le second théorème, et considérer -f_n , et je dois mq fn(x) --> 0 pour tout x dans [-1,1], mais pour le cas de x=0 ?