Injectivité

[les TPEistes]

Bonjour ! J'ai quelques petites questions sur les injections/surjections... Si quelqu'un s'y connait et veut bien m'aider... :we:

On sait que : à toute fonction f (continue sur R) on associe pour tout réel x :



Soit a un réel strictement positif.

Pour tout x réel on a :

Déterminer la fonction U associée à f. La fonction T telle que T(f) = U est-elle injective ?

J'ai pensé à : mais je suppose que je ne dois pas m'arrêter là ?


Dernière question : une application qui est un endomorphisme de E (où E est l'espace vectoriel sur R des applications continues de R dans R), c'est toujours une surjection ou ça dépend ?

Merci de m'avoir lu. :happy2:

[Nightmare]

Bonjour,

Ben non, l'idée est bien sûr de calculer U(x) ce qui se fait facilement !

Pour répondre à ta dernière question, il suffit de savoir ce qu'est une surjection !

[les TPEistes]

Bonjour Nightmare.

1- se primitive en ?

2- Une surjection c'est une fonction par laquelle tout élément d'un ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent. Mais bon...

[kazeriahm]

1- oui

2- réfléchis un peu. D'une manière générale, soit E un espace vectoriel non réduit à {0}. Trouve un endormorphisme de E qui ne soit pas surjectif.

[Nightmare]

1- Oui !

2 - Oui.Aussi, pourquoi une endomorphisme serait-il surjectif?

[les TPEistes]

Parce que l'image de l'ensemble de départ serait contenu dans l'ensemble d'arrivée ? Hmmmm...

[les TPEistes]

Euh non je dis des bêtises là. A dire vrai ça reste très flou dans mon esprit... :hein:

Bref, en fait mon endomorphisme c'est l'application L telle que L(f) = U.

[kazeriahm]

que penses tu de l'endomorphisme nul ?

[les TPEistes]

Il n'est pas surjectif, donc un endomorphisme tel que je l'avais défini n'est pas toujours surjectif. Bien.

Et en ce qui concerne l'endormorphisme L ?



Merci de ton aide kazerhiam :we:

[Nightmare]

L'opérateur T envoie une fonction continue sur une fonction dérivable. Par conséquent, il suffit de prendre une fonction continue qui n'est pas dérivable, elle n'admet pas d'antécédent.

[Nightmare]

Pardon, ton endomorphisme s'appelle L !

[kazeriahm]

il n'est pas surjectif, la question était de savoir s'il était injectif. Que peux tu dire de son noyau ?

[les TPEistes]

J'avais deux questions : une sur la surjectivité (c'est vu) et une sur l'injectivité (qui concerne ma fonction avec le cosinus) qui est :

Est-ce que la fonction qui a f (telle que ) fait correspondre U (telle que ) est injective ?

Est-ce que si je prends x = 0 et x = 2pi/a je peux dire que j'ai deux antécédents et donc que ce n'est pas une injection ?

[Nightmare]

La question n'a pas de sens si l'on fixe f (ce qui est le cas ici). On étudie l'injectivité sur un ensemble, pas en un élément donné.

[les TPEistes]

Autant pour moi. Donc je suppose que cette fonction f doit permettre de donner un contre-exemple. Ce que j'ai fait peut-il alors convenir ? :hein:

[Nightmare]

Comme te le dis Kazeriham, tu peux regarder le noyau de ton application linéaire, on montre rapidement qu'il est réduit à {0} et que par théorème ton endomorphisme est injectif.

[les TPEistes]

Sur le principe je suis d'accord. Mais je n'arrive pas à "voir" la chose... Je ne suis pas convaincu...

Le noyau ce sont les antécédents de U tels que U(x) = 0 ?

[Nightmare]

Déjà clarifions l'énoncé.

On pose L l'endomorphisme de qui à f continue associe U.

Le noyau de L (Ker(L)) est l'ensemble des applications f continues telles que (ie L(f) est identiquement nulle).

Autrement dit, c'est l'ensemble des applications f continues telles que est identiquement nulle.

Essaye de montrer que si pour tout x alors

[les TPEistes]

Si on note F une primitive de f alors :

U(x) = F(x+1) - F(x).

Pour le noyau, U(x) = 0 donc F(x+1) = F(x) donc F est constante donc f est nulle.

C'est ça ? :id:

[Nightmare]

pourquoi F est constante?